Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ϕ
2πk, (k = 0, ±1, ±2, ...)
Ln z = ln r + i(ϕ + 2πk) = ln z + i2πk. (30)
Ln(−5) = ln 5 + i(π +
2πk), k = 0, ±1, ±2, ... |−5| = 5, arg(−5) = ϕ = π.
z, ; z.
z
1
z
2
n z
z = −1, n = 2.
|z
1
+ z
2
| ≤
|z
1
| + |z
2
|, |z
1
− z
2
| ≥ |z
1
| − |z
2
|.
Òàê êàê àðãóìåíò êîìïëåêñíîãî ÷èñëà ϕ îïðåäåëÿåòñÿ ñ òî÷-
íîñòüþ äî 2πk, (k = 0, ±1, ±2, ...) òî

            Ln z = ln r + i(ϕ + 2πk) = ln z + i2πk.       (30)

Ïîëüçóÿñü ýòîé ôîðìóëîé ìîæíî âû÷èñëèòü ëîãàðèôì ëþáî-
ãî îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà. Íàïðèìåð, Ln(−5) = ln 5 + i(π +
2πk), k = 0, ±1, ±2, ... òàê êàê |−5| = 5, arg(−5) = ϕ = π.
   Á. Êîíòðîëüíûå âîïðîñû è çàäàíèÿ.
     1. Äàéòå ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ êîìïëåêñíîìó ÷èñ-
ëó z, ; ñîïðÿæåííîìó ïî îòíîøåíèþ ê êîìïëåêñíîìó ÷èñëó z.
     2. Ïîêàæèòå, ÷òî êîìïëåêñíîå ÷èñëî ðàâíî íóëþ òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà ðàâíî íóëþ ñîïðÿæåííîå ê íåìó ÷èñëî.
     3. Ïîêàæèòå, ÷òî ÷àñòíîå äâóõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z1 è z2
ìîæíî ïîëó÷èòü, åñëè ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü óìíîæèòü íà
÷èñëî, êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîå ê çíàìåíàòåëþ.
     4. Ñêîëüêî ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ìîæíî ïîëó÷èòü ïðè èçâëå-
÷åíèè êîðíÿ n ñòåïåíè èç êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z ? Ïîëîæèòå,
â ÷àñòíîñòè z = −1, n = 2.
     5. Ïîêàæèòå, ÷òî ïðàâèëà ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ êîìïëåêñ-
íûõ ÷èñåë èäåíòè÷íû ïðàâèëàì ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ âåêòî-
ðîâ.
     6. Ïîëüçóÿñü èíòåðïðåòàöèåé êîìïëåêñíîãî ÷èñëà êàê âåêòî-
ðà íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, äîêàæèòå íåðàâåíñòâà: |z1 + z2 | ≤
|z1 | + |z2 | , |z1 − z2 | ≥ |z1 | − |z2 | .
     7. Ïîêàæèòå, ÷òî ìîäóëü ðàçíîñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë èìå-
åò ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ñîîòâåòñòâóþùèìè
òî÷êàìè íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè.

                              21

Страницы