Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

w
k
=
n
√
z =
n
√
r(cos
ϕ + 2πk
n
+ i sin
ϕ + 2πk
n
), k = 0, n − 1,
ρ =
n
√
r
e
z
z.
z
1
= r
1
e
iϕ
1
, z
2
= r
2
e
iϕ
2
, r
2
6= 0,
z
1
z
2
= r
1
r
2
e
i(ϕ
1
+ϕ
2
)
;
z
1
z
2
=
r
1
r
2
e
i(ϕ
1
−ϕ
2
)
; z
n
= r
n
e
inϕ
.
e
i2πk
= 1, (k = 0, ±1, ±2, ...).
z
1
z
2
x
1
+i y
1
x
1
+i y
2
i
2
−1.
z
1
= −2 + 3i, z
2
= 7 − 8i.
z
1
+z
2
= (−2+7)+(3−8)i = 5−5i.
(−2 + 3i)
(7 − 8i) : z
1
· z
2
= (−2 + 3i) · (7 − 8i) = 14 + 16i + 21i − 24i
2
=
10 + 37i.
z
1
= −1 + 6i z
2
=
2 + 5i. z
2
− z
1
z
2
z
1
.
   8. Ïîêàæèòå, ÷òî
          √        √           ϕ + 2πk         ϕ + 2πk
   wk =   n
              z=   n
                       r(cos           + i sin         ), k = 0, n − 1,
                                  n               n
ðàñïîëîæåíû â âåðøèíàõ ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà, âïèñàí-
                                √
íîãî â îêðóæíîñòü ðàäèóñà ρ = n r ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîð-
äèíàò.
   9. Ïîêàæèòå, ÷òî ez íå îáðàùàåòñÿ â íóëü íè â îäíîé òî÷êå
êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè z.
   10. Ïîêàæèòå, ÷òî åñëè z1 = r1 eiϕ1 , z2 = r2 eiϕ2 , r2 6= 0, òî
                                     z1  r1
       z1 z2 = r1 r2 ei(ϕ1 +ϕ2 ) ;      = ei(ϕ1 −ϕ2 ) ; z n = rn einϕ .
                                     z2  r2

    11. Ïîêàæèòå, ÷òî ei2πk = 1, (k = 0, ±1, ±2, ...).
    12. Ïîêàæèòå, ÷òî ôîðìóëà óìíîæåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë
z1 è z2 ïîëó÷àåòñÿ, åñëè ôîðìàëüíî ïåðåìíîæèòü äâó÷ëåíû
x1 +i y1 è x1 +i y2 ïî îáû÷íîìó ïðàâèëó óìíîæåíèÿ äâó÷ëåíîâ,
à çàòåì çàìåíèòü i2 íà −1.
   Â. Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷.
   Ïðèìåð 8. Íàéòè ñóììó è ïðîèçâåäåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë
z1 = −2 + 3i, z2 = 7 − 8i.
   Ðåøåíèå. z1 +z2 = (−2+7)+(3−8)i = 5−5i. Ïðîèçâåäåíèå
íàõîäèì ôîðìàëüíûì ïåðåìíîæåíèåì äâó÷ëåíîâ (−2 + 3i) è
(7 − 8i) : z1 · z2 = (−2 + 3i) · (7 − 8i) = 14 + 16i + 21i − 24i2 =
10 + 37i.
   Ïðèìåð 9. Äàíû êîìïëåêñíûå ÷èñëà z1 = −1 + 6i è z2 =
                                                       z2
2 + 5i. Íàéòè ðàçíîñòü z2 − z1 è ÷àñòíîå               z1
                                                          .


                                        22

Страницы