Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

z
2
− z
1
= (2 + 5i) − (−1 + 6i) = 3 − i.
z
2
z
1
=
2 + 5i
−1 + 6i
=
(−1) · 5 − 2 · 6
(−1)
2
+ (6)
2
=
28
37
− i
17
37
.
3+i
(1+i)(1−2i)
.
3 + i
(1 + i)(1 − 2i)
=
3 + i
1 − 2i + i + 2
=
3 + i
3 − i
.
(3 + i)(3 + i)
(3 − i)(3 + i)
=
9 + 6i − 1
9 + 1
=
4
5
+ i
3
5
.
z = −
√
3 + i
r = |z| =
√
3 + 1 = 2, tgϕ =
y
x
= −
1
√
3
;
ϕ z = −
√
3 + i
ϕ =
5
6
π +
2πk, (k = 0, ±1, ±2, ...). z = 2(cos
5
6
π + i sin
5
6
π).
z
1
=
√
2(cos
11
4
π +
i sin
11
4
π) z
2
=
√
8(cos
3
8
π + i sin
3
8
π).
r
1
= |z
1
| =
√
2, r
2
= |z
2
| =
√
8, r = r
1
r
2
= 4.
z
1
z
2
ϕ
1
+ ϕ
2
=
11
4
π +
3
8
π =
9
8
π + 2π. z
1
· z
2
= 4(cos
9
8
π + i sin
9
8
π).
   Ðåøåíèå. z2 − z1 = (2 + 5i) − (−1 + 6i) = 3 − i. ×àñòíîå
íàõîäèì ïî ôîðìóëå (23):

            z2    2 + 5i   (−1) · 5 − 2 · 6   28   17
               =         =       2       2
                                            =    −i .
            z1   −1 + 6i    (−1) + (6)        37   37

   Ïðèìåð 10. Âûïîëíèòü äåéñòâèÿ               3+i
                                            (1+i)(1−2i)
                                                        .
   Ðåøåíèå. Ïåðåìíîæèâ ÷èñëà, ñòîÿùèå â çíàìåíàòåëå, ïî-
ëó÷èì
                   3+i              3+i          3+i
                              =                =     .
              (1 + i)(1 − 2i)   1 − 2i + i + 2   3−i
Óìíîæèì ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äðîáè íà ÷èñëî, ñîïðÿæåí-
íîå çíàìåíàòåëþ, òîãäà

               (3 + i)(3 + i)   9 + 6i − 1  4  3
                              =            = +i .
               (3 − i)(3 + i)     9+1       5  5

   Ïðèìåð 11. Íàéòè ìîäóëü è àðãóìåíò êîìïëåêñíîãî ÷èñëà
         √
z = − 3 + i è çàïèñàòü åãî â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå.
                                √
     Ðåøåíèå. r = |z| = 3 + 1 = 2, tgϕ = xy = − √13 ; ïðè
                                                           √
íàõîæäåíèè ϕ ó÷òåì, ÷òî êîìïëåêñíîå ÷èñëî z = − 3 + i
ðàñïîëîæåíî âî âòîðîì êâàäðàíòå. Ñëåäîâàòåëüíî, ϕ = 65 π +
2πk, (k = 0, ±1, ±2, ...). z = 2(cos 65 π + i sin 56 π).
                                                         √
     Ïðèìåð 12. Íàéòè ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë z1 = 2(cos 114 π +
                    √
i sin 11
       4
         π) è z 2 =   8(cos 38 π + i sin 38 π).
   Ðåøåíèå. Äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è âîñïîëüçóåìñÿ
                           √                   √
ôîðìóëîé (25). r1 = |z1 | = 2, r2 = |z2 | = 8, r = r1 r2 = 4.
Àðãóìåíò ïðîèçâåäåíèÿ z1 z2 åñòü ñóììà ϕ1 + ϕ2 = 11         4
                                                              π + 83 π =
9
8
  π + 2π. Ñëåäîâàòåëüíî, z1 · z2 = 4(cos 98 π + i sin 98 π).


                                  23

Страницы