Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

w
3
= 2(cos
7π
4
+ i sin
7π
4
) =
√
2 − i
√
2.
z =
√
3
8
− i
1
8
.
|z| = r =
q
3
64
+
1
64
=
1
4
. tgϕ = −
1
3
, ϕ = −
π
6
z z =
1
4
e
−
π
6
i
.
4
q
√
3 + i
4
q
√
3 + i =
4
√
2e
iπ/6
=
4
√
2 · e
i
12k+1
24
π
, k = 0, 1, 2, 3.
z
1
z
2
,
a) z
1
= 4 + 5i, z
2
= 3 − 2i; [7 + 3i; 22 + 7i].
b) z
1
=
√
2 −
√
3i, z
2
=
√
2 +
√
3i; [2
√
2 ; 5].
z
2
− z
1
z
2
/
z
1
z
1
z
2
,
a) z
1
= 3 + 4i, z
2
= 0, 4 − 0, 2i; [−2; 6 − 4, 2i].
b) z
1
=
√
5 − i, z
2
=
√
5 − 2i; [−i;
7
/
6
− i
√
5
.
6].
a) 2i(
1
2
+
√
3
2
i)(−
1
2
+
√
3
2
i); [−2i] . b)
1 + i
1 − i
+
1 − i
1 + i
; [0] .
c)
(1 + i)
(
√
3 + i)(1 + i
√
3)
; [
1
4
(1 − i)] .
                          7π        7π  √     √
              w3 = 2(cos     + i sin ) = 2 − i 2.
                           4         4
   Ïðèìåð 16. √
                Ïðåäñòàâèòü â ïîêàçàòåëüíîé ôîðìå êîìïëåêñ-
íîå ÷èñëî z = 83 − i 18 .
                            q
   Ðåøåíèå. |z| = r =          1
                            + 64 3
                                 = 14 . tgϕ = − 13 , ϕ = − π6
                                64
                                                    π
(ò.ê. z íàõîäèòñÿ â ÷åòâåðòîì êâàäðàíòå), z = 14 e− 6 i .
                                              q√
    Ïðèìåð 17. Çàïèñàòü âñå çíà÷åíèÿ êîðíÿ 4 3 + i â ïî-
êàçàòåëüíîé ôîðìå.
   Ðåøåíèå.
         q√          √               √
         4           4                            12k+1
                                         2 · ei         π
                                     4
              3+i=       2eiπ/6 =                   24      , k = 0, 1, 2, 3.
  Ã. Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáî-
òû.
     1. Íàéòè ñóììó è ïðîèçâåäåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z1 è
z2 , åñëè
        a) z1 = 4 + 5i, z2 = 3 − 2i; [7 + 3i; 22 + 7i].
                 √    √           √   √        √
        b) z1 = 2 − 3i, z2 = 2 + 3i; [2 2 ; 5].
   2. Íàéòè ðàçíîñòü z2 − z1 è ÷àñòíîå z2/z1 êîìïëåêñíûõ
÷èñåë z1 è z2 , åñëè

         a) z1 = 3 + 4i, z2 = 0, 4 − 0, 2i; [−2; 6 − 4, 2i].
                √             √                     √.
        b) z1 = 5 − i, z2 = 5 − 2i; [−i; 7/6 − i 5 6].
   3. Âûïîëíèòü äåéñòâèÿ:
            √          √
       1      3     1     3                                  1+i 1−i
a) 2i( +        i)(− +      i); [−2i] .              b)         +    ;          [0] .
       2     2      2   2                                    1−i 1+i
         (1 + i)        1
c) √               √ ; [ (1 − i)] .
   ( 3 + i)(1 + i 3) 4

                                     25

Страницы