Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

a) z
1
± z
2
= z
1
± z
2
; b) (
z
1
/
z
2
) =
z
1
/
z
2
;
c) z
1
· z
2
= z
1
· z
2
; d) (z
n
) = (z)
n
.
|z
1
· z
2
| = |z
1
| · |z
2
|,
¯
¯
¯
¯
z
1
z
2
¯
¯
¯
¯
=
|z
1
|
|z
2
|
.
z
2
, z
2
, z
3
,
[z
1
+ z
3
− z
2
].
a) |z + 1| = 1; b) |z + 2i −1| ≤ 2; c) |z −2|
2
+ |z + 2|
2
= 26;
d) sin |z| > 0.
R = 1, z = −1.
R = 2, z = 1 −2i.
R = 3, z = 0.
z
a) z = −
√
3 + i, b) z = −1, c)z = i, d) z = −cos
π
12
− i sin
π
12
.
[ a) 2(cos
5
6
π + i sin
5
6
π); b) cos π + i sin π; c) cos
π
2
+
+ i sin
π
2
; d) cos
13
12
π + i sin
13
12
π. ]
   11. Äîêàçàòü ðàâåíñòâà:

            a) z1 ± z2 = z1 ± z2 ;               b) (z1/z2 ) = z1/z2 ;

            c) z1 · z2 = z1 · z2 ;                 d) (z n ) = (z)n .
   12. Äîêàçàòü ðàâåíñòâà:
                                                   ¯ ¯
                                                   ¯ z1 ¯ |z |
                  |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 | ,     ¯ ¯= 1 .
                                                   ¯ ¯
                                                    z2     |z2 |

   13. Íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè äàíû òî÷êè z2 , z2 , z3 , ÿâëÿ-
þùèåñÿ òðåìÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè âåðøèíàìè ïàðàëëåëîãðàì-
ìà. Íàéòè ÷åòâåðòóþ âåðøèíó.       [z1 + z3 − z2 ].
   14. Íàéòè ìíîæåñòâî òî÷åê êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, çàäàí-
íîå óñëîâèåì:

a) |z + 1| = 1;      b) |z + 2i − 1| ≤ 2;           c) |z − 2|2 + |z + 2|2 = 26;

d) sin |z| > 0.
   [ à) Îêðóæíîñòü R = 1, öåíòð â òî÷êå z = −1.   b) Êðóã ñ
ãðàíèöåé, R = 2, öåíòð â òî÷êå z = 1 − 2i.  c) Îêðóæíîñòü,
R = 3, öåíòð â òî÷êå z = 0.     d) Ñèñòåìà êîíöåíòðè÷åñêèõ
ïîëåé. ]
   15. Ïðåäñòàâèòü êîìïëåêñíîå ÷èñëî z â òðèãîíîìåòðè÷å-
ñêîé ôîðìå:
        √                                                          π          π
a) z = − 3 + i, b) z = −1, c)z = i,                 d) z = − cos      − i sin    .
                                                                   12         12
[ a) 2(cos 65 π + i sin 65 π);   b) cos π + i sin π;                     c) cos π2 +
        π          13           13
+ i sin 2 ; d) cos 12 π + i sin 12 π. ]


                                         27

Страницы