Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(0, 1)(0, 1) = (−1, 0), i
2
= −1.
z = (x, y)
z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1) · (y, 0) =
x + iy. z = (x, y) z = x + iy
(x, −y) = x − iy
(x, y) = x + iy z
z = x − iy
z = (x, y) M
(x, y)
−−→
OM
O M
x = r cos ϕ, y =
r sin ϕ z
z = (x + iy) = r(cos ϕ + i sin ϕ). (24)
r ϕ
r = |z|, ϕ =
arg z. r =
√
x
2
+ y
2
, tg ϕ =
y
x
.
z 6= 0
2π. Argz = arg z + 2kπ, (k = 0, ±1, ±2, ...), arg z
(−π ≤ arg z < π).
êîìïëåêñíûõ ÷èñåë: (0, 1)(0, 1) = (−1, 0), i2 = −1. Çàìåòèâ
ýòî, ìû ìîæåì ëþáîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî z = (x, y) ïðåäñòà-
âèòü â âèäå z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1) · (y, 0) =
x + iy. Ïðåäñòàâëåíèå z = (x, y) â âèäå z = x + iy íàçûâàåòñÿ
àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìîé êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Ýòî ïðåäñòàâëå-
íèå ïîçâîëÿåò ïðîèçâîäèòü îïåðàöèè ñ êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè,
êàê îíè ïðîèçâîäÿòñÿ ñ àëãåáðàè÷åñêèìè ìíîãî÷ëåíàìè.
    Êîìïëåêñíîå ÷èñëî (x, −y) = x − iy íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåí-
íûì ïî îòíîøåíèþ ê ÷èñëó (x, y) = x + iy è îáîçíà÷àåòñÿ z
(ò.å. z = x − iy ).
    Êîìïëåêñíîå ÷èñëî z = (x, y) èçîáðàæàåòñÿ èëè òî÷êîé M
                                          −−→
ñ êîîðäèíàòàìè (x, y) , èëè âåêòîðîì OM , èäóùèì èç íà÷àëà
êîîðäèíàò O â òî÷êó M íà ïëîñêîñòè. Ïðè ýòîì ïëîñêîñòü íàçû-
âàåòñÿ êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòüþ. Â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäè-
íàò îñü àáñöèññ íàçûâàåòñÿ äåéñòâèòåëüíîé îñüþ, à îñü îðäèíàò
- ìíèìîé îñüþ. Ââåäÿ ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû x = r cos ϕ, y =
r sin ϕ íà ïëîñêîñòè, êîìïëåêñíîå ÷èñëî z ìîæíî ïðåäñòàâèòü
â âèäå:
                  z = (x + iy) = r(cos ϕ + i sin ϕ).              (24)
Ýòà ôîðìà ÷èñëà íàçûâàåòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìîé êîì-
ïëåêñíîãî ÷èñëà, r è ϕ íàçûâàþòñÿ ìîäóëåì è àðãóìåíòîì
êîìïëåêñíîãî ÷èñëà è îáîçíà÷àþòñÿ ñèìâîëàìè r = |z| , ϕ =
                       √
arg z. ßñíî, ÷òî r = x2 + y 2 , tg ϕ = xy . Àðãóìåíò ÷èñ-
ëà z 6= 0 îïðåäåëåí ëèøü ñ òî÷íîñòüþ äî öåëîãî, êðàòíîãî
2π. Argz = arg z + 2kπ, (k = 0, ±1, ±2, ...), ãäå arg z - ãëàâíîå
çíà÷åíèå àðãóìåíòà (−π ≤ arg z < π).
     òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå óäîáíî ïðîèçâîäèòü îïåðàöèè


                                 19

Страницы