Методы оптимального проектирования: Текст лекций. Андронов С.А. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

49
Используя условие сопpяженности s
(1)
с s
(0)
, т. е. s
(1)T
Cs
(0)
= 0, полу-
чим [g
(1)
+ γ
(0)
g
(0)
] C s
(0)
= 0.
Учитывая, что s
(0)
=
()
0
x
∆
α
и свойство квадpатичных функций
∆g = g(x
(1)
) – g(x
(0)
) = C∆x
(так как g(x
(0)
)= Cx
(0)
+ b; g(x
(1)
) = Cx
(1)
+ b), имеем [g
(1)T
+ γ
(0)
g
(0)
]
T
∆g = 0,
откуда
() () () () () () () ()() ()
11 001 10 000
0
+
γ
−−
γ
=
g
ggggggg
ΤΤΤΤ
.
Известно, что в качестве кpитеpия окончания одномеpного поиска
вдоль каждого из сопряженных направлений, используется условие
g
(k+1)T
g
(k)
= 0 (направление градиента в точке k+1 перпендикулярно на-
правлению градиента на предыдущем шаге, поскольку
() ()
()0
kk
d
fx s
d
λ
+λ =
в конце линейного поиска, т. е.
() ( 1)
0
kT k+
=
sg
).
В силу сказанного, подчеркнутые слагаемые уходят и, следовательно:
(0) (1) 2 (0) 2
|| || / || || .
ggγ=
Затем определяются следующее направление s
(2)
и т. д. В общем слу-
чае, сопряженные направления, предлагаемые методом Флетчера–Рив-
са, имеют вид
() () () 2 ( 1) 2 ( 1) ()
kk k k ki
gg g s ik
−−

=− +
γ
==−

s
Второе слагаемое
(1)(1)
kk−−
γ s
– добавка к направлению наискорейше-
го спуска направления только предыдущего шага.
Отметим, что метод эффективен (небольшие затраты по памяти) по-
зволяют использовать его для решения задач большой размерности.
Пример
22
12121
() 4 3 4 min,
fx x x xx x=+− +→
[]
(0)
0,0 .
T
x =
Шаг 1:
[]
12 21
() 8 4 1,6 4 ;
T
fx x x x x∇=−+ −
[]
(0) 0 2
() 1,0.
T
sfx=−∇ =−
Шаг 2 : линейный поиск
(1) (0) (0) (0) (0)
1
() ;
8
xx fx=−α∇ →α=
(1)
11
(0,0) (1,0) ( ,0) .
88
TT T
x =− =−

Страницы