Методы оптимального проектирования: Текст лекций. Андронов С.А. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

51
Матрица А
(k)
[n*n] носит название метрики, поскольку матрица
не рассчитывается на каждой итерации, методы с такой формулой
называются методами переменной метрики. Учитывая свойство квад-
ратичных функций, можно записать
1−
∆= ∆
xC g
. В данном случае хо-
телось бы, чтобы
(1) () ()
,
kkk
+
=∆AAg
где
() ( 1) ()
,
kk k
+
∆= −
xx x
() ( 1) ()
kk k
gx x
+
∆= −gg
Однако построить такую аппроксимацию
нельзя, так как, чтобы найти ∆g
(k)
надо знать А
(k)
(∆g
(k)
получено на
основе ∆x, а оно по A
(k)
). Можно потребовать, чтобы новое приближе-
ние матрицы А удовлетворяло этому соотношению, т. е.
() ( 1) ()
,
kkk
+
∆=β ∆xAg
где β – скаляр. Раскрывая A
(4+1)
, получим
() ()
kk
∆∆=Ag
() () ()
1
kkk
=∆ − ∆
β
xAg
. Подстановкой можно убедиться, что
()
1
k
∆=×
β
A
() () ()
() ()
kT k kT
Tk Tk

∆∆
×−


∆∆

xy A gz
yg zg
является решением этого уравнения.
Здесь у и z – произвольные векторы, т. е. это семейство решений.
В известном методе Дэвидсона–Флетчера–Пауэлла
() () ()
,.
kkk
=∆ = ∆
yx zAg
Таким образом, имеем
(1) (1) (1) (1) (1)(1)
() ( 1)
(1)(1) (1)
(1) (1)
,
TT
kk kkTkk
kk
TTkkk
kk
−− −−−−
+
−− −
−−
∆∆ ∆∆
=+ −
∆∆
∆∆
xx AggA
AA
gAg
xg
такой выбор y, z связан с требованием сохранения симметричности и
положительной определенности матрицы А
(k)
(что связано с таким же
требованием на все слагаемые рекуррентной формулы). В качестве А
(0)
может быть выбрана единичная матрица.
Это требование является условием сходимости алгоритма к стацио-
нарной точке х*. Может быть показано, что
() () () () ()
() () () ().
kT kT k k k
fx fx fx fx∆=∇ ∆=−∇ α ∇xA
Отсюда следует, что если
()
0
k
α>
и матрица А
(k)
– положительно оп-
ределена (требование сходимости метода), то
(1) ()
()()0,
kk
ffx fx
+
∆= − <
(1) ()
()(),
kk
fx fx
+
<
т. е. функция убывает от итерации к итерации.

Страницы