Высшая математика (часть 2). Анкилов А.В - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

16
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
.
Пример 1.2.5. Пусть yxz sin ,
tx 31
,
2
1 ty . По формуле (1.5) имеем
2
2
2
2
1cos
1
)31(
1sin3
1
cos3sin t
t
tt
t
t
t
yxy
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
.
Аналогично решается вопрос о производной сложной функции, когда число
промежуточных аргументов более двух. Например, если
),,( zyxfu
, где )(txx , )(tyy
,
)(tzz , то формула (1.5) принимает вид
dt
dz
z
u
dt
dy
y
u
dt
dx
x
u
dt
du
.
Рассмотрим теперь более общий случай. Пусть ),( vufz
– функция двух переменных
u и v , которые, в свою очередь, зависят от двух или большего числа независимых
переменных. Например, пусть
),( yxuu , ),( yxvv
. Тогда функция

),(),,( yxvyxufz
является сложной функцией независимых переменных
x
и y , а переменные u и
v – промежуточные. Для вычисления частной производной
x
z
фиксируем y . Применяя
формулу (1.5), будем иметь
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
. (1.7)
Аналогично, фиксируя
x
, согласно формуле (1.5) получаем
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
. (1.8)
Пример 1.2.6. Пусть
22
vuz ,
yxu
2
,
y
x
v . По формулам (1.7), (1.8) находим
y
vuuv
x
z 1
222
22
, )(212
2
22
y
x
vuuv
y
z
.
Формулы (1.7), (1.8) можно обобщить на случай любого числа промежуточных
аргументов. Например, если ),,( wvufz – функция трех переменных wvu
,, , а каждая из
них зависит от
x
и
y
, то формулы (1.7), (1.8) принимают вид
x
w
w
z
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
,
y
w
w
z
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
.

Страницы