Высшая математика (часть 2). Анкилов А.В - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

15
),...,(
21 n
xxxM имеет непрерывные частные производные, то она в этой точке
дифференцируема и имеет полный дифференциал
n
n
dx
x
u
dx
x
u
dx
x
u
du
...
2
2
1
1
.
1.2.3. Производные сложных функций
Пусть ),( yxfz – функция двух переменных
x
и
y
, каждая из которых, в свою
очередь, является функцией независимой переменной t : )(txx
, )(tyy . Тогда функция

)(),( tytxfz является сложной функцией независимой переменной t . Переменные
x
и
y
называются промежуточными аргументами.
Предполагая, что функции )(txx и )(tyy
дифференцируемы в точке t , а функция
),( yxfz дифференцируема в точке ),( yxM , покажем, что сложная функция

)(),( tytxfz дифференцируема в точке t и имеет место формула
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
. (1.5)
С этой целью дадим переменной t произвольное приращение t
; тогда функции
)(tx
и
)(ty
получат соответственно приращения x
и
y
, а функция
),( yxfz
, в свою очередь,
приращение
),(),( yxfyyxxfz
.
Так как функция
),( yxfz
дифференцируема в точке
),( yxM
, где
)(txx
,
)(tyy
, то
z
можно записать в виде
yxyyxfxyxfz
yx
),(),(
//
,
где
и
– бесконечно малые при 0
x и 0
y . Разделив обе части равенства на t
,
получим
t
y
t
x
t
y
yxf
t
x
yxf
t
z
yx
),(),(
//
. (1.6)
Согласно предположению
dt
dx
t
x
t
0
lim ,
dt
dy
t
y
t
0
lim . Кроме того, так как функции
)(tx и )(ty дифференцируемы в точке t , то они непрерывны в этой точке, т. е.
0x
и
0y при
0t и, как следствие, 0
и 0
.
Таким образом, при
0t
существует предел правой части равенства (1.6),
а следовательно, существует предел левой части
dt
dz
t
z
t
0
lim ,
причем
dt
dy
yxf
dt
dx
yxf
dt
dz
yx
),(),(
//
,
или, что то же самое,

Страницы