Высшая математика (часть 2). Анкилов А.В - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

13
Частные производные функции
n переменных ),...,(
21 n
xxxfu
определяются
аналогично
k
nknkk
x
k
x
x
k
x
xxxfxxxxf
x
u
x
u
k
k
k
),...,,...,(),...,,...,(
limlim
11
00
, k = 1,2,…,n.
Пример 1.2.3.
232
xytyzxu ;
2
2 ytx
x
u
,
23
xtz
y
u
,
2
3yz
z
u
, xyt
t
u
2
.
1.2.2. Дифференцируемость функции, полный дифференциал
Пусть функция
),( yxfz
определена в некоторой окрестности точки ),( yxM .
Определение 1.2.2. Функция ),( yxfz
называется дифференцируемой в точке
),( yxM , если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде
yxyBxAz
, (1.3)
где A и B – некоторые не зависящие от x
и y
числа, а
и
– бесконечно малые при
0x , 0y функции от x и y .
Пример 1.2.4. Пусть
xy
, тогда
yxyxxyxyyyxxyxfyyxxfz
)()(),(),( .
Получили выражение вида (1.3). В данном случае xxByA
,0,, . Согласно
определению 1.2.2 функция
xy
дифференцируема в любой точке ),( yxM .
Известно, что если функция одной переменной дифференцируема в некоторой точке, то
она имеет производную в этой точке. И обратно: из существования производной в данной
точке следует дифференцируемость функции в этой точке. Выясним, как переносится это
свойство на функции двух переменных.
Теорема 1.2.1. Если функция ),( yxfz
дифференцируема в точке ),( yxM , то она
имеет в этой точке частные производные ),(
/
yxf
x
и ),(
/
yxf
y
, причем Ayxf
x
),(
/
,
Byxf
y
),(
/
.
Доказательство. Так как функция ),( yxfz
дифференцируема в точке
M
, то имеет
место соотношение (1.3). Полагая
0
y
, имеем xxAz
x
. Разделив на x
и
переходя к пределу при
0x , получаем
AA
x
z
x
x
x
)(limlim
00
. Следовательно, в точке
M
существует частная производная Ayxf
x
),(
/
. Аналогично доказывается, что в точке
M
существует частная производная
Byxf
y
),(
/
.
Обратная теорема неверна, т. е. из существования частных производных в точке
M
еще не следует дифференцируемость функции в этой точке.
Например, функция
плоскоститочкахостальныхв
координатосяхна
yxf
1
0
),( имеет частные
производные по x и y в точке O(0,0). Это следует из того, что 0)0,( xf и 0),0(
yf ,
поэтому
0)0,0(
/
x
f
и
0)0,0(
/
y
f . Убедимся, что точка О(0,0) – точка разрыва функции
),( yxfz
. Пусть точка
),( yxM
стремится к точке О(0,0) вдоль прямой
x
y
. Тогда

Страницы