Высшая математика (часть 2). Анкилов А.В - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

12
Числа ),(
**
yxfM и ),(
**
yxfm называются соответственно наибольшим и
наименьшим значениями функции ),( yxfz в
D .
3.
Если функция ),( yxfz непрерывна в ограниченной замкнутой области
D
, то она
принимает все промежуточные значения между любыми двумя своими значениями, т. е. если
BCA , где
A
и
B
– какие-то значения функции ),( yxf в данной области, то в этой
области существует точка ),(
000
yxM такая, что Cyxf
),(
00
.
Отсюда, в частности, следует, что если
1
M и
2
M – точки данной области
D
и
0)(
1
Mf , 0)(
2
Mf , то в D найдется точка
0
M , в которой 0)(
0
Mf .
Аналогичные свойства имеют место и для непрерывных функций
n переменных
)2( n .
1.2. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких
переменных
1.2.1. Частные производные
Пусть функция
),( yxfz
определена в некоторой окрестности точки ),( yxM . Дадим
переменной
x
приращение x , оставляя значение переменной y неизменным, т. е.
перейдем на плоскости от точки ),( yxM к точке
),(
1
yxxM
. При этом x таково, что
точка
1
M лежит в указанной окрестности точки
M
. Тогда соответствующее приращение
функции
),(),( yxfyxxfz
x
называется частным приращением функции по переменной x в точке ),( yxM .
Аналогично определяется частное приращение функции по переменной y:
),(),( yxfyyxfz
y
.
Определение 1.2.1. Если существует )lim(lim
00
y
z
x
z
y
y
x
x
, то этот предел называется
частной производной функции ),( yxfz по переменной x (по переменной y) в точке
),( yxM и обозначается одним из следующих символов:
),,,(,,,
////
y
f
y
z
fz
x
f
x
z
fz
yyxx
.
Из определения следует, что частная производная функции двух переменных по
переменной x представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной x
при фиксированном значении переменной y. Поэтому частные производные вычисляют по
формулам и правилам вычисления производных функций одной переменной.
Пример 1.2.1. yxz ln
3
; yx
x
z
ln3
2
,
y
x
y
z
3
.
Пример 1.2.2.
x
yz ; yy
x
z
x
ln
,
1
x
xy
y
z
.

Страницы