Высшая математика (часть 2). Анкилов А.В - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

10
Обозначение: Ayxf
yy
xx
),(lim
0
0
или AMf
MM
)(lim
0
.
Заметим, что задача нахождения предела функции двух переменных является более
сложной, чем для функции одной переменной.
Пример 1.1.3. Найти
93
lim
0
0
xy
xy
y
x
.
Положим xy = t, тогда
0t при 0x и 0y .
93
lim
0
0
xy
xy
y
x
=
93
lim
0
t
t
t
=
)9(9
)93(
lim
0
t
tt
t
= )93(lim
0
t
t
= –6.
Не следует думать, что предел функции двух переменных можно найти, вычисляя
последовательно пределы по каждой из переменных.
Пример 1.1.4. Пусть
.0,0
0,
),(
22
22
22
yxесли
yxесли
yx
xy
yxf
Тогда 0)0,(),0( xfyf , а
2
1
),( xxf
при
.0
x Таким образом, функция не имеет
предела при
)0,0(),( yx , хотя
00lim)),(lim(lim
000
yxy
yxf , 00lim)),(lim(lim
000
yxy
yxf .
1.1.3. Непрерывность функции нескольких переменных
Понятие непрерывности функции вводится на основе понятия предела. Пусть функция
),( yxfz определена в области D и точка DyxM
),(
000
.
Определение 1.1.4. Функция ),( yxfz
называется непрерывной в точке ),(
000
yxM ,
если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, т. е.
),(),(lim
00
0
0
yxfyxf
yy
xx
.
(1.1)
Функция называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой
точке этой области.
Если в некоторой точке
0
M условие (1.1) не выполняется, то точка
0
M называется
точкой разрыва функции ),( yxfz .
Пример 1.1.5. Функция
2,1,0
2,1,,
),(
22
yxпри
yxкромевсюдуyx
yxf
в точке )2,1(
0
M разрывна, так как 5),(lim
2
1
yxf
y
x
, а 0)2,1(
f .
Сформулируем определение непрерывности в терминах приращений. Полным
приращением функции
),( yxfz в точке ),(
000
yxM называется величина
),(),(
0000
yxfyyxxfz
,

Страницы