Высшая математика (часть 2). Анкилов А.В - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

8
ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1.1. Определение, предел и непрерывность функций нескольких
переменных
1.1.1. Определение функции нескольких переменных
При рассмотрении многих вопросов естествознания приходится иметь дело с такими
зависимостями между переменными величинами, в которых числовые значения одной из них
полностью определяются значениями нескольких других. Так, например, температура тела в
данный момент времени t может изменяться от точки к точке. Каждая точка тела
определяется тремя координатами
x
,
y
и z , поэтому температура зависит (является
функцией) от трех переменных
x
,
y
, z , а если еще учитывать зависимость температуры от
времени t , то значения ее будут уже определяться значениями четырех переменных
x
,
y
, z
и t . Примеров таких зависимостей можно привести сколько угодно. В данной главе
изучаются такого рода зависимости. С этой целью вводится понятие функции нескольких
переменных и развивается аппарат для исследования таких функций.
Между функциями одной и функциями нескольких переменных много общего, но
имеются и существенные различия. В то же время переход от двух переменных к большему
их числу, как правило, не представляет затруднений. В связи с этим в дальнейшем подробно
будет рассматриваться только случай функций двух переменных.
Определение 1.1.1. Пусть D – множество упорядоченных пар чисел ),( yx . Если
каждой паре Dyx ),( поставлено в соответствие число z , то говорят, что на множестве
D
задана функция ),( yxfz от двух переменных
x
и y .
Переменные
x
и y называют независимыми переменными (аргументами), переменную
z – зависимой переменной, множество D – областью определения функции.
Так как каждой паре чисел
),( yx соответствует на плоскости точка
M
с координатами
),( yx , то функцию двух переменных можно рассматривать как функцию точки
M
и вместо
),( yxfz писать )(Mfz . Областью определения функции в этом случае является
некоторое множество

M точек плоскости.
Как известно, графиком функции одной переменной )(xfy
является кривая,
определенная уравнением )(xfy . Функцию двух переменных ),( yxfz
также можно
представить графиком. Это будет поверхность,
которая определяется уравнением ),( yxfz , т. е.
сама формула, задающая функцию, и есть уравнение
этой поверхности.
В аналитической геометрии рассматриваются
различные поверхности и их уравнения. Так,
например, уравнение 01052
yxz является
уравнением плоскости. Данная плоскость есть
график функции 1052
yxz . Графиком
функции
22
yxz является параболоид вращения
(рис. 1.1).
y
O
z
22
yxz
x
Рис. 1.1

Страницы