Высшая математика (часть 2). Анкилов А.В - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

9
Построение графиков функций двух переменных во многих случаях представляет
значительные трудности, поэтому основным способом задания функций двух переменных
является аналитический. Областью определения функции в этом случае является множество
точек плоскости, для которых формула, определяющая функцию, имеет смысл.
Пример 1.1.1. xyxz
22
2. Область определения этой функции – вся плоскость
Oxy , так как
x
и
y
могут принимать любые значения.
Пример 1.1.2.
22
1 yxz . Областью определения является множество всех точек,
для которых выражение
22
1 yx определено, т. е. множество точек, таких, что
01
22
yx , или 1
22
yx . Множество всех таких точек образует круг единичного
радиуса с центром в начале координат.
Если вместо множества точек плоскости взять множество
M точек пространства, то
аналогично можно дать определение функции трех переменных )(Mfu
или ),,( zyxfu .
Областью определения функции трех переменных является все пространство или его часть.
Так, например, функция
32
zyxu определена во всем пространстве, а функция

xyzu ln – на множестве точек пространства, координаты которых удовлетворяют
неравенству 0xyz . Определение функции
n
)3( n переменных аналогично данному
выше определению 1.1.1, при этом используется символическая запись ),...,,(
21 n
xxxfu
или )(Mfu , где
M
– точка n-мерного пространства R
n
. Заметим, что при 3n область
определения функции уже не имеет наглядного геометрического истолкования.
1.1.2. Предел функции нескольких переменных
В дальнейшем функцию двух переменных будем рассматривать, как правило, не на
произвольном множестве точек плоскости, а на множестве, которое называется областью.
Областью будем называть часть плоскости, ограниченную одной или несколькими
непрерывными кривыми. Совокупность этих кривых называется границей области. Введем
понятие
-окрестности данной точки ),(
000
yxM .
Определение 1.1.2. Множество всех точек ),( yxM , координаты которых
удовлетворяют неравенству

2
0
2
0
yyxx <δ, или, короче,
),(
0
MM ,
называется
-окрестностью точки ),(
000
yxM .
Другими словами,
-окрестность точки
0
M – это все точки, лежащие внутри круга
радиуса
с центром в точке ),(
000
yxM .
Всюду далее, если говорится, что функция ),( yxf обладает каким-либо свойством в
окрестности точки ),(
000
yxM , то под этим подразумевается, что найдется круг с центром
),(
00
yx , во всех точках которого данная функция обладает указанным свойством. Теперь
дадим определение предела функции двух переменных. Оно аналогично определению
предела функции одной переменной.
Пусть функция
),( yxfz
определена в некоторой области
D
плоскости Оxy и пусть
),(
000
yxM – точка, лежащая в области D или на ее границе.
Определение 1.1.3. Число
называется пределом функции ),( yxfz
при стремлении
точки ),( yxM к точке ),(
000
yxM , если для любого числа 0
существует число 0
такое, что для всех точек ),( yxM , удовлетворяющих условию
),(0
0
MM , имеет
место неравенство
Ayxf ),( .

Страницы