Высшая математика (часть 2). Анкилов А.В - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

11
где точка ),(
00
yyxxM
, также как и
0
M , принадлежит области определения функции.
Полагая в предельном равенстве (1.1) yyyxxx
00
,, представим его в виде
),(),(lim
0000
0
0
yxfyyxxf
y
x
, или 0lim
0
0
z
y
x
.
Таким образом, определение 1.1.4 равносильно следующему определению.
Определение 1.1.5. Функция ),( yxfz
называется непрерывной в точке ),(
000
yxM ,
если бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое
приращение функции, т. е.
0lim
0
0
z
y
x
. (1.2)
Пример 1.1.6. Функция
22
yxz непрерывна в любой точке ),(
000
yxM .
Действительно, полное приращение данной функции в точке
0
M имеет вид
22
00
2
0
2
0
2
0
2
0
)()(22)()()( yxyyxxyxyyxxz
.
Очевидно, 0z при 0x , 0
y , т. е. согласно определению 1.1.5 функция
22
yxz непрерывна в точке ),(
000
yxM .
Введенные выше понятия предела и непрерывности для функций двух переменных
легко обобщаются на функции трех и более переменных. Так же как для функций одной
переменной, используя определение непрерывности и свойства пределов, можно доказать,
что арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложных
функций из непрерывных функций приводят к непрерывным функциям. Отсюда следует, что
элементарные функции нескольких переменных непрерывны в тех областях, в которых они
определены.
Приведем без доказательства основные глобальные, т. е связанные со всей областью
определения, свойства непрерывных функций двух переменных. Предварительно введем
понятие ограниченной замкнутой области. Пусть D – область на плоскости Оxy .
Определение 1.1.6. Замкнутой областью
D
называется множество точек,
образованное областью D и ее границей, т. е.
CDD .
Определение 1.1.7. Область
D
(или
D
) называется ограниченной, если существует
круг с центром в начале координат, внутри которого она содержится.
Теперь сформулируем основные свойства.
1.
Если функция ),( yxfz непрерывна в ограниченной замкнутой области D , то она
ограничена в этой области, т. е. существует число
K
такое, что для всех точек области
выполняется неравенство:
Kyxf ),(
.
2.
Если функция ),( yxfz непрерывна в ограниченной замкнутой области D , то в
области
D
найдется хотя бы одна точка ),(
***
yxM такая, что для всех точек из
D
будет
выполняться неравенство
),(),(
**
yxfyxf ,
и хотя бы одна точка ),(
***
yxM , такая, что
),(),(
**
yxfyxf .

Страницы