Высшая математика (часть 2). Анкилов А.В - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

14
1),(lim
0
0
yxf
y
x
, а 0)0,0( f , т. е. условие непрерывности (1.1) не выполняется. С другой
стороны, если предположить, что функция
),( yxfz
дифференцируема в точке О(0,0), то
из (1.3) будет следовать равенство 0lim
0
0
z
y
x
, т. е. непрерывность функции ),( yxfz в
точке О(0,0). Следовательно, предположение неверно, и данная функция
недифференцируема в точке О(0,0), хотя и имеет в этой точке частные производные.
Таким образом, существование частных производных в точке является необходимым,
но не достаточным условием дифференцируемости функции в этой точке. Сформулируем
достаточное условие
дифференцируемости.
Теорема 1.2.2. Если функция ),( yxfz
в точке ),( yxM имеет непрерывные частные
производные, то она дифференцируема в этой точке.
Пусть функция ),( yxfz дифференцируема в точке ),( yxM , т. е. ее полное
приращение
z
в этой точке может быть записано в виде (1.3).
Определение 1.2.3. Полным дифференциалом
dz
дифференцируемой в точке ),( yxM
функции ),( yxfz называется главная часть ее полного приращения, линейная
относительно
x
и y , т. е.
yBxAdz
. (1.4)
Используя теорему 1.2.1, выражение (1.4) можно представить следующим образом:
yyxfxyxfdz
yx
),(),(
//
.
Дифференциалами независимых переменных
x
и
y
назовем приращения этих
переменных:
xdx , ydy . Тогда дифференциал функции запишется в виде:
dyyxfdxyxfdz
yx
),(),(
//
, или
dy
y
z
dx
x
z
dz
.
Из соотношений (1.3) и (1.4) следует, что разность yxdzz
есть
бесконечно малая при
0
x
, 0y более высокого порядка, чем
22
)()( yx
.
Действительно,
0)(limlim
0
0
0
0
yxdzz
y
x
y
x
, так как
и
– бесконечно малые, а
x
и
y
– ограниченные
)1,1(
yx
функции.
Отсюда получаем:
()zdzo

, или
()zdzo

. Отбрасывая при достаточно
малых
x
и y величину
()o
, получим приближенную формулу
dzz
,
которую широко используют в приближенных вычислениях, так как легче вычислить
дифференциал, чем полное приращение.
Для функции
2n переменных дифференцируемость и полный дифференциал
определяются аналогично. Как и в случае
2
n , если функция ),...,,(
21 n
xxxfu
в точке

Страницы