Высшая математика (часть 2). Анкилов А.В - 206 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

206
точке
1
x и находят абсциссу
2
x точки пересечения новой касательной с осью Ox. Продолжая
этот процесс, получают числовую последовательность
,....,...,,,
210 n
xxxx (7.12)
Можно доказать [7], что при выполнении перечисленных в начале этого параграфа условий,
последовательность (7.12) сходится к корню
*
x уравнения (7.8).
Получим расчетную формулу для метода Ньютона. Пусть
n
x и
1n
x – предыдущее и
последующее приближения корня. Запишем уравнение касательной к графику функции в
точке
n
x : ))(()(
nnn
xxxfxfy
. В уравнении положим
1
n
xx , тогда 0y (так как это
точка пересечения касательной с осью
Ox). Значит ))(()(0
1 nnnn
xxxfxf
. Разрешая это
уравнение относительно
1n
x , находим
,...2,1,0,
)(
)(
1
n
xf
xf
xx
n
n
nn
(7.13)
Полученная рекуррентная формула (7.13) определяет сходящуюся к
*
x числовую
последовательность. Погрешность приближенного к
*
x значения
n
x определяется из
неравенства, установленного в работах [7], [8]:
,)(
2
||
2
1
1
2
*
nnn
xx
m
M
xx (7.14)
где
.|)(|max|;)(|min
00
00
21
xfMxfm
bxa
bxa
7.2.5. Метод хорд
Пусть корень уравнения (7.8) отделен на начальном отрезке ],[
00
ba , причем
0)()(
00
bfaf и существуют и знакопостоянны )(xf
и )(xf
для всех ],[
00
bax .
Геометрический смысл метода хорд состоит в том, что к графику функции )(xfy на
отрезке, внутри которого находится корень, проводится стягивающая его хорда и вместо
точки пересечения графика )(xf с осью Ox ищется точка пересечения этой хорды с осью Ox.
В качестве начального приближения
0
x к корню
*
x выбирается тот из концов отрезка ],[
00
ba ,
в котором функция )(xf и ее вторая производная имеют противоположные знаки, т. е.
.0)()(
xfxf (7.15)
При этом противоположный конец отрезка ],[
00
ba будет неподвижен. Этот неподвижный
конец отрезка обозначим через C (рис. 7.4).
Рис. 7.4.
Строя последовательно указанным выше способом хорды и находя их точки пересечения с
осью Ox, получаем последовательность приближений искомого корня
,....,...,,,
210 n
xxxx ,

Страницы