Высшая математика (часть 2). Анкилов А.В - 207 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

207
которая, при выполнении отмеченных в начале параграфа условий, будет сходиться к корню
уравнения (7.8).
Получим расчетную формулу для метода хорд. Пусть
n
x и
1n
x – предыдущее и
последующее приближения корня, C – неподвижная точка. Запишем уравнение прямой
(хорды), проходящей через две точки с координатами ))(,(
nn
xfx и ))(,( CfC . Получим
)()(
)(
n
n
n
n
xfCf
xfy
xC
xx
.
В уравнении положим
1
n
xx , тогда 0
y и уравнение примет вид
)()(
)(
1
n
n
n
nn
xfCf
xf
xC
xx
.
Разрешая это уравнение относительно
1n
x , получим рекуррентную формулу для
последовательности приближений корня уравнения (7.7)
,...2,1,0,
)()(
)(
1
n
Cfxf
Cx
xfxx
n
n
nnn
(7.16)
При этом погрешность приближения на n-ом шаге определяется следующим неравенством
[7], [8]:
|,|||
1
1
11
*
nnn
xx
m
mM
xx (7.17)
где
.|)(|max|;)(|min
00
00
11
xfMxfm
bxa
bxa
7.2.6. Комбинированный метод
Пусть корень уравнения (7.8) отделен на начальном отрезке ],[
00
ba , причем
0)()(
00
bfaf и
)(xf
и
)(xf
отличны от нуля и знакопостоянны на этом отрезке.
Сравнивая условия выбора начального приближения
0
x в методах Ньютона и хорд,
несложно заметить, что для одного и того же уравнения в качестве начальных приближений
выбираются разные концы отрезка ],[
00
ba . Учитывая это обстоятельство, можно
одновременно приближать к
*
x оба конца начального отрезка. При этом один конец отрезка
будет уточняться методом Ньютона, а другой – методом хорд. Такой метод решения
уравнения называется комбинированным. Геометрическая иллюстрация этого метода дана на
рис. 7.5.
Рис. 7.5.
Формулы, реализующие комбинированный метод решения уравнения (7.8), вытекают
из формул (7.13) и (7.16).

Страницы