Высшая математика (часть 2). Анкилов А.В - 222 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

222
Разделим отрезок интегрирования ],[ ba на n равных частей точками:
hnaxhaxhax
n
)1(...,,2,
121
, где
n
ab
h
– длина каждой части или шаг
интегрирования.
7.3.2. Методы прямоугольников и трапеций
Заменим исходную криволинейную трапецию ступенчатой фигурой, состоящей из n
прямоугольников, опирающихся на частичные отрезки, причем высоты этих
прямоугольников равны значениям функции )(xfy
в начальных или конечных точках
частичных отрезков ),...,2,1(],[
1
nixx
ii
(рис. 7.9). Значение площади этой фигуры и будет
давать приближенное значение интеграла (7.22). Результат будет тем более точен, чем
больше число частичных отрезков разбиения.
Рис. 7.9.
Если обозначить значения функции )(xf в точках деления через
n
yyyy ,...,,,
210
, то,
очевидно, будут иметь место следующие формулы:
)...(
110
nЛП
yyyhII , (7.23)
)...(
21 nПП
yyyhII
, (7.24)
где в формуле (7.23) взяты значения функции в начальных точках, а в (7.24) в конечных
точках частичных отрезков. Эти формулы называются формулами левых и правых
прямоугольников. Из рис. 7.9 хорошо видно, что если брать значения функции в концах
отрезков ],[
1 ii
xx
, то приближение по площади на этих отрезках будет или с избытком, или с
недостатком. Поэтому для повышения точности вычисления интеграла методом
прямоугольников берут значения функции
)(xf в точках 2/)(
1
*
iii
xxx
, т. е. в серединах
частичных отрезков (рис. 7.10).
Рис. 7.10.
Тогда по формуле средних прямоугольников
),....(
**
2
*
1 nП
yyyhII (7.25)
где
*
i
y – значения
)(xf
в точках
*
i
x .

Страницы