Высшая математика (часть 2). Анкилов А.В - 221 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

221
7.3. Вычисление определенных интегралов
7.3.1. Постановка задачи
Определенным интегралом от функции )(xf на отрезке ],[ ba называется предел
последовательности интегральных сумм
n
S
,1;max];,[;;)(;lim)(
11
1
0
nkxdxxxxxxxxfSSdxxf
k
k
nkkkkkk
n
k
kkn
b
a
n
d
n
n
при условии, что этот предел не зависит от способа разбиения отрезка
],[ ba
точками
bxxxxa
n
...
2100
на элементарные отрезки
],[
1 kk
xx
и от выбора точек
k
x
на этих
отрезках.
К вычислению определенного интеграла сводятся многие задачи, как самой
математики, так и ее приложений. В тех случаях, когда первообразная
)(xF
подынтегральной функции
)(xf
находится достаточно просто, для вычисления
определенного интеграла используется формула Ньютона-Лейбница
b
a
aFbFdxxf ).()()(
Замечание. Функция )(xF называется первообразной для )(xf , если выполняется
равенство )()( xfxF
.
Однако, в подавляющем большинстве практических задач первообразную )(xF либо
нельзя выразить в конечном аналитическом виде через элементарные функции, либо ее
определение приводит к громоздким вычислениям, либо точное решение нецелесообразно
ввиду его громоздкости. Кроме этого, часто подынтегральная функция бывает задана
графическим или табличным способами, что делает невозможным применение формулы
Ньютона-
Лейбница. В таких случаях следует использовать приближенное вычисление
определенных интегралов с помощью численных методов.
Существует большое количество методов численного интегрирования. В данных
указаниях и лабораторной работе рассматриваются три наиболее часто используемых
метода: метод прямоугольников, метод трапеций и метод Симпсона (парабол) [6]–[8]. Эти
методы основаны на следующем: рассматривая интеграл как площадь криволинейной
трапеции
, находят ее приближенное значение, т. е. приближенное значение интеграла, путем
вычисления площади другой фигуры, ограничивающая линия которой по возможности мало
отклоняется от линии с уравнением )(xfy
. Вспомогательную линию при этом проводят
так, чтобы получилась фигура, площадь которой можно вычислить.
Итак, пусть требуется вычислить определенный интеграл
b
a
dxxfI .)( (7.22)
Если 0)(
xf , то значение этого интеграла равно площади криволинейной трапеции,
ограниченной прямыми 0,,
ybxax и графиком функции )(xfy
(рис. 7.8).
Рис. 7.8.

Страницы