Высшая математика (часть 2). Анкилов А.В - 239 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

239
где )(
i
xy – точное значение решения задачи Коши в точке
i
x , а
*
,
ii
yy – приближенные
значения решения, вычисленные по формуле (7.52) с шагами
h и 2/h соответственно. Из
неравенства (7.53) следует, что для достижения необходимой точности
нужно просчитать
значение
y по формуле (7.52) с шагом h , а затем, уменьшив шаг вдвое, снова повторить
расчеты. Если при этом окажется, что для всех
ni ,...,2,1
выполняется неравенство
,||
*
ii
yy
то на шаге
h
достигнута необходимая точность.
7.4.3. Метод Рунге-Кутта
Метод Эйлера прост в реализации, но обладает сравнительно небольшой точностью.
Поэтому для решения задачи Коши с повышенной точностью обычно используют метод
Рунге-Кутта [6]–[8].
Как и прежде, разбиваем отрезок интегрирования ],[ ba на n равных частей. Зная
значения
i
y – решение задачи Коши в точке
i
x , будем искать значение решения в точке
1i
x
по следующей формуле Рунге-Кутта:
,
6
22
3210
1
KKKK
yy
ii
(7.54)
где
).,(
);5,0,5,0(
);5,0,5,0(
);,(
23
12
01
0
KyhxfhK
KyhxfhK
KyhxfhK
yxfhK
ii
ii
ii
ii
(7.55)
Вычисления по формулам (7.54), (7.55) выполняются в следующем порядке. Для
начальной точки ),(
00
yx , где ax
0
, вычисляют
0
K , затем последовательно
21
, KK и
3
K .
После этого все значения подставляются в формулу (7.54) )0(
i и находится
1
y при
hxx
01
. Далее процесс продолжается аналогично до конца отрезка b .
Для оценки локальной погрешности метода Рунге-Кутта используется неравенство
[7], [8]:
|,|
15
1
|)(|
**
iiiiКР
yyxyy
(7.56)
где
*
,),(
iii
yyxy имеют тот же смысл, что и в неравенстве (7.53).
7.4.4. Выбор шага интегрирования
Точность методов Эйлера и Рунге-Кутта существенно зависит от величины шага
интегрирования h. Можно доказать [7], [8], что погрешность метода Эйлера имеет порядок h,
а метода Рунге-Кутта – порядок
4
h . Т. е. для достижения одной и той же точности в методе
Эйлера нужно выбрать гораздо меньший шаг интегрирования, чем в методе Рунге-Кутта.
Рассмотрим подробнее процедуру выбора и уточнения шага интегрирования на
примере метода Рунге-Кутта. Пусть
– заданная точность решения задачи Коши. Поскольку
4
hc
КР
(где c=const), то начальное значение
0
h можно выбрать из неравенства
.
4
0
h (7.57)
При этом, чтобы попасть после n шагов интегрирования из точки a в точку b, необходимо
выполнение условия:
N
h
ab
n
0
(натуральное число). (7.58)

Страницы