Высшая математика (часть 2). Анкилов А.В - 238 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

238
7.4.2. Метод Эйлера
Метод Эйлера состоит в следующем. Отрезок ],[ ba , на котором ищется приближенное
решение, делится точками
bnhxxhxxhxxxa
n
002010
,...,2,,
на n равных частей, где
n
ab
h
– шаг интегрирования дифференциального уравнения. Зная
значение
0
y решения )(xyy
в точке
0
x , можно найти приближенно
11
)(
ii
yxy в точках
hxx
ii
1
по следующей рекуррентной формуле:
.1,...,1,0),,(
1
niyxhfyy
iiii
(7.52)
Геометрически в методе Эйлера искомую интегральную кривую на интервале ),(
10
xx
заменяем отрезком касательной к этой интегральной кривой в точке
0
M (на рис. 7.16:
1 – искомая интегральная кривая, 2,3 – другие интегральные кривые).
Рис. 7.16.
Уравнение касательной имеет вид
),()()(
000
xxxyxyy
где
hxxyyxxyxfxyyxy
01100000
,,),,()(,)(
. Поэтому ордината касательной в
точке
1
x равна ),(
0001
yxfhyy
, т. е. получили формулу (7.52) для случая 0i . Далее
строим касательную в точке
1
M к интегральной кривой 2, которая уже не совпадает с
искомой. Находим ординату
2
y касательной в точке
2
x , получаем формулу (7.52) уже при
1i . И так до тех пор, пока не достигнем конца отрезка b (на рис. 7.17: 1 – ломаная Эйлера,
2 – искомая интегральная кривая).
Рис. 7.17.
Для оценки локальной погрешности метода Эйлера в точке
i
x используется
неравенство [6]–[8]
|,||)(|
**
iiiiЭ
yyxyy (7.53)

Страницы