Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

17
1.2.4. Производные неявных функций
Рассмотрение этого вопроса начнем с неявной функции одной переменной. Говорят,
что функция )(
xfy , ),( bax , неявно задана уравнением 0),(
yxF , если 0))(,(
xfxF
для всех ),(
bax .
Например, уравнение 0132
yx на всей оси определяет неявно функцию, которую
решив данное уравнение, можно записать в явном виде
3
12
x
y ; уравнение 01
22
yx
неявно определяет в интервале (–1,1) две функции
2
1 xy и
2
1 xy . В более
сложных случаях трудно сказать, для каких значений
x
уравнение 0),( yxF определяет
функцию
)(xfy
и будет ли эта функция единственной. Имеет место следующая теорема
существования неявной функции.
Теорема 1.2.3. Пусть в некоторой окрестности точки ),(
000
yxM функция ),( yxF и ее
частные производные ),(
/
yxF
x
, ),(
/
yxF
y
непрерывны, причем 0),(
/
yxF
y
, и пусть
0),(
00
yxF . Тогда существует окрестность точки
0
x , в которой уравнение 0),(
yxF
определяет единственную непрерывную функцию )(
xfy
, такую, что )(
00
xfy
,

0)(, xfxF .
Предполагая условия теоремы 1.2.3 выполненными, покажем, что производная неявной
функции )(
xfy в некоторой окрестности точки
0
x выражается по формуле
),(
),(
/
/
yxF
yxF
dx
dy
y
x
. (1.9)
Пусть значению
x
соответствует значение функции y . При этом 0),( yxF . Дадим
независимой переменной
x
приращение x
. Функция y получит приращение y
, т. е.
значению аргумента
xx
будет соответствовать значение функции yy , при этом
0),( yyxxF
. Следовательно,
0),(),(
yxFyyxxFF
.
Представляя полное приращение F
в виде (1.3), получим
0),(),(
//
yxyyxFxyxF
yx
.
Отсюда
),(
),(
/
/
yxF
yxF
x
y
y
x
.
Пусть 0x , тогда 0y в силу непрерывности функции )(xfy
. Учитывая, что при
этом
и
также стремятся к нулю, в пределе получим (1.9).
Пример 1.2.7. Найти
dx
dy
, если 01
22
yx . Здесь 1),(
22
yxyxF , xF
x
2
/
,
yF
y
2
/
. По формуле (1.9) получаем:
y
x
y
x
dx
dy
2
2
. Как уже отмечено выше, уравнение
определяет в интервале (–1,1) две функции
2
1 xy . Найденное значение
y
x
y
x
/
справедливо как для одной, так и для другой функции.
Неявная функция двух переменных определяется уравнением вида
0),,( zyxF . Имеет
место теорема существования неявной функции двух переменных, аналогичная теореме
1.2.3.

Страницы