Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

19
Дифференцируя еще раз, получим
xyx
x
z
3020
3
2
2
,
2
2
15x
yx
z
, 2
2
2
y
z
, .15
2
2
x
xy
z
Нетрудно заметить, что частные производные
yx
z
2
и
xy
z
2
(они называются
смешанными, так как берутся по разным переменным) совпадают, т. е. результат
дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования. Совпадение смешанных
производных не случайно, оно имеет место в широком классе случаев при соблюдении
определенных условий. А именно, справедлива
Теорема 1.2.4. Если производные ),(
//
yxf
xy
и ),(
//
yxf
yx
существуют в некоторой
окрестности точки ),( yxM и непрерывны в самой точке М, то
),(
//
yxf
xy
=
),(
//
yxf
yx
.
Замечание. Для функции
n
переменных имеет место аналогичная теорема о равенстве
смешанных производных любого порядка.
Пример 1.2.10. Показать, что
yx
z
2
3
=
2
3
xy
z
, если 2
322
yxeyz
x
.
Решение. Последовательно находим
32
2xyey
x
z
x
,
32
2
2
2yey
x
z
x
,
2
2
3
62 yye
yx
z
x
;
22
32 yxye
y
z
x
,
2
2
62 xyye
xy
z
x
,
2
2
3
62 yye
xy
z
x
.
Таким образом,
yx
z
2
3
=
2
2
3
62 yye
xy
z
x
, что и требовалось показать.
1.3. Экстремумы функций нескольких переменных
1.3.1. Необходимые условия экстремума
Пусть функция ),( yxfz
определена в некоторой окрестности точки ),(
000
yxM .
Определение 1.3.1. Функция ),( yxfz
имеет максимум (минимум) в точке
),(
000
yxM , если существует такая окрестность точки
0
M , в которой для всех точек ),( yxM
отличных от
0
M , выполняется неравенство ),(),(
00
yxfyxf
(),(),(
00
yxfyxf ).
Максимум или минимум функции называется ее экстремумом, а точки, в которых
функция имеет экстремум, называются точками экстремума (максимума или минимума).
Теорема 1.3.1. (Необходимый признак экстремума). Если дифференцируемая функция
),( yxfz , достигает экстремума в точке ),(
000
yxM , то в этой точке частные производные
первого порядка равны нулю, т. е.
0),(,0),(
0000
yxfyxf
yx
. (1.12)
Доказательство. Докажем, например, равенство нулю частной производной ),(
/
yxf
x
в
точке ),(
000
yxM . Для этого рассмотрим в окрестности
0
M только те точки, для которых

Страницы