Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

20
0
yy . Получаем функцию ),(
0
yxfz одной переменной
x
, которая имеет в точке
0
xx
экстремум. Следовательно, в этой точке выполняется необходимое условие экстремума
функции одной переменной: 0),(
00
/
yxf
x
, что и требовалось доказать.
Аналогично, рассматривая функцию ),(
0
yxfz
одной переменной y, находим
0),(
00
/
yxf
y
.
Замечание 1. Аналогичная теорема имеет место для функции
n
переменных )2( n .
Замечание 2. Условия (1.12) не являются достаточными условиями экстремума.
Например, частные производные функции
22
yxz равны нулю в точке )0,0(
0
M , однако
функция не имеет экстремума в этой точке. Действительно, 0)0,0(
fz и ни в какой
окрестности точки
0
M функция не сохраняет знак: если
0
x
, то
0z
, а если 0
y , то
0z , следовательно, значение 0z не является ни максимумом, ни минимумом.
Таким образом, условия (1.12) являются только необходимыми условиями экстремума.
Точки, в которых выполняются условия (1.12), называются стационарными точками
функции
),( yxfz .
1.3.2. Достаточные условия экстремума
Достаточные условия экстремума для функции
n
переменных имеют вид значительно
более сложный, чем для функции одной переменной. Ограничимся формулировкой
достаточного признака экстремума для функции двух переменных.
Введем обозначения ),(
00
//
yxfA
xx
,
),(
00
//
yxfB
xy
,
),(
00
//
yxfC
yy
,
2
BACD .
Теорема 1.3.2. (Достаточный признак экстремума). Пусть ),(
000
yxM – стационарная
точка функции
),( yxfz
и пусть в окрестности точки
0
M функция имеет непрерывные
частные производные второго порядка. Тогда:
если 0D , то функция ),( yxfz имеет в точке ),(
000
yxM экстремум, а именно –
максимум при
0A ( 0
C ) и минимум при 0A ( 0C );
если 0D , то экстремум в точке ),(
000
yxM отсутствует;
если 0D , то требуется дополнительное исследование.
Пример 1.3.1. Исследовать на экстремум функцию yxyxyxz 63
22
.
Решение. Сначала применим необходимый признак экстремума (Теорема 1.3.1). Для
этого найдем частные производные первого порядка
32
/
yxf
x
,
62
/
yxf
y
и, приравняв их к нулю, получим систему уравнений
.062
032
yx
yx
Система имеет единственное решение 0
x , 3
y , следовательно, функция имеет одну
стационарную точку )3,0(
0
M . Далее воспользуемся достаточным признаком (Теорема 1.3.2).
Имеем
2
//
xx
f
,
1
//
xy
f , 2
//
yy
f , 3122
D . Так как 0D и 02
A , то в точке
0
M
функция имеет минимум, равный
9
min
z .
Пример 1.3.2. Исследовать на экстремум функцию
x
yz
.

Страницы