Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

18
Предполагая, что в некоторой области уравнение 0),,(
zyxF определяет неявно
функцию ),( yxfz
, найдем ее частные производные
/
x
z и
/
y
z
. Чтобы найти
/
x
z , фиксируем
y
. Здесь применима формула (1.9), в которой независимая переменная по-прежнему
x
, а
функцией является
z . Следовательно,
),,(
),,(
/
/
zyxF
zyxF
x
z
z
x
. (1.10)
Таким же путем находим
),,(
),,(
/
/
zyxF
zyxF
y
z
z
y
. (1.11)
Аналогичным образом определяются неявные функции любого числа переменных и
находятся их частные производные.
Пример 1.2.8. Найти
x
z
и
y
z
, если
0)ln(
xyzxz
. Здесь
),,( zyxF
=
=
xyzxz )ln( , y
zx
z
F
x
/
, xF
y
/
,
zx
z
zxF
z
)ln(
/
. Следовательно, по формулам
(1.10) и (1.11) получаем
zzxzx
zzyxy
x
z
)ln()(
,
zzxzx
zxx
y
z
)ln()(
)(
.
1.2.5. Частные производные высших порядков
Пусть функция ),( yxfz
определена в окрестности точки ),( yxM и в каждой точке
этой окрестности существуют частные производные ),(
/
yxf
x
и ),(
/
yxf
y
. Назовем их
частными производными первого порядка. Эти производные являются функциями
переменных
x
и
y
, поэтому от них можно снова находить частные производные. Частные
производные от функций ),(
/
yxf
x
и ),(
/
yxf
y
в точке
),( yxM
, если они существуют,
называются частными производными второго порядка от функции
),( yxfz
в этой точке и
обозначаются следующими символами:
);,(
//
2
2
yxf
x
z
xx
);,(
//
2
yxf
yx
z
xy
);,(
//
2
2
yxf
y
z
yy
).,(
//
2
yxf
xy
z
yx
Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по
x
, так и по
y
.
Получим частные производные третьего порядка. В общем случае, частной производной
m -го порядка (m =2,3,…) функции ),...,,(
21 n
xxxfu
называется частная производная от
частной производной
)1( m
-го порядка.
Пример 1.2.9. Найти частные производные второго порядка функции
15
325
yxyxz .
Решение. Найдем частные производные
yxx
x
z
24
155
,
3
52 xy
y
z
.

Страницы