Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

21
Решение. Имеем yf
x
/
, xf
y
/
, следовательно, )0,0(
0
M – стационарная точка. Так
как 0
//
xx
f ,
1
//
xy
f
,
0
//
yy
f
, то 0
A , 1
B
, 0
C , 01
D , следовательно, в точке
)0,0(
0
M экстремума нет.
Пример 1.3.3. Исследовать на экстремум функцию
44
yxz .
Решение. Найдем частные производные
3/
4xf
x
,
3/
4yf
y
,
2//
12xf
xx
,
0
//
xy
f
,
2//
12yf
yy
.
Решая систему уравнений
04
3
x
, 04
3
y , находим, что )0,0(
0
M – стационарная
точка. Для этой точки 0)0,0(
//
xx
fA ,
0)0,0(
//
xy
fB
,
0)0,0(
//
yy
fC
. Так как
0
2
BACD , то функция в точке
0
M может иметь экстремум, но может и не иметь его.
В данном случае экстремум есть, так как
0z
во всех точках, кроме
0
M , и
0z
в точке
0
M , т. е. данная функция в точке
0
M имеет минимум, равный 0.
1.3.3. Условный экстремум
При отыскании экстремумов функции нескольких переменных эти переменные часто
бывают связаны дополнительными условиями. Рассмотрим, например, такую задачу. Найти
наибольший объем параллелепипеда при заданной сумме 12 a длин его ребер.
Обозначим через
z
y
x
,,
длины ребер параллелепипеда. Задача сводится к отысканию
максимума функции
xyzV
при условии, что
azyx 3
. Здесь мы имеем задачу на
условный экстремум: переменные
z
y
x
,, связаны условием azyx 3
. В данном пункте
будут рассмотрены методы решения таких задач.
Начнем с функции двух переменных. Пусть требуется найти экстремумы функции
),( yxfz при условии, что
x
и y связаны уравнением
0),(
yx
. (1.13)
Уравнение (1.13) называется уравнением связи. Геометрический смысл задачи
заключается в следующем: требуется найти экстремумы функции на линии, заданной
уравнением (1.13).
В простейших случаях уравнение связи (1.13) можно разрешить относительно
y
.
Подставляя найденное выражение )(xyy
в формулу ),( yxfz
, получим функцию одной
переменной

)(, xyxfz . Тем самым задача сводится к отысканию экстремумов функции
одной переменной.
Пример 1.3.4. Найти экстремумы функции
22
1 yxz при условии 01
yx .
Решение. Из уравнения связи находим xy
1, следовательно,
22
)1(1 xxz
=
=
)1(2 xx
,
10 x
. Исследуем полученную функцию на экстремум:
0
)1(22
42
xx
x
dx
dz
при
2
1
0
xx .

Страницы