Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

23
Изложенный метод распространяется на функции любого числа переменных. Пусть
требуется найти экстремумы функции ),...,,(
21 n
xxxfu
при условии, что переменные
связаны
)( nmm условиями:
.0),...,,(
.........
0),...,,(
0),...,,(
21
212
211
nm
n
n
xxx
xxx
xxx
Для того чтобы найти значения
12
, ,...,
n
x
xx, при которых могут быть условные
максимумы и минимумы, нужно составить функцию Лагранжа
),...,,(),...,,(),...,,(),...,,,,...,,(
21222111212121 nnnmn
xxxxxxxxxfxxxL
…
),...,,(
21 nmm
xxx
и приравнять к нулю ее частные производные по
mn
xxx
,...,,,,...,,
2121
. Из полученной
системы
nm уравнений найти
n
xxx ,...,,
21
и вспомогательные неизвестные
m
,...,,
21
.
Условия (1.15) являются только необходимыми для экстремума функции ),( yxfz с
уравнением связи 0),( yx
, т. е. в точках условного экстремума имеют место равенства
(1.15), но не при всяких
x
и
y
(и
), удовлетворяющих уравнениям (1.15), будет иметь
место условный экстремум. Требуется дополнительное исследование характера точки
возможного экстремума. Сформулируем достаточный признак условного экстремума.
Теорема 1.3.3. Пусть (
000
,,
yx ) – любое из решений системы (1.15) и
),,(),,(),(
),,(),,(),(
),(),(0
000
//
000
//
00
/
000
//
000
//
00
/
00
/
00
/
yxLyxLyx
yxLyxLyx
yxyx
yyxyy
xyxxx
yx
.
Тогда, если
0
, то функция ),( yxfz
имеет в точке ),(
000
yxM условный
максимум; если
0 – условный минимум.
Пример 1.3.5. Вернемся к задаче, сформулированной в начале этого пункта: найти
максимум функции xyzV при условии, что 03
azyx (0,0,0 zyx ). Составим
функцию Лагранжа
)3(),,( azyxxyzyxL
.
Найдем ее частные производные и приравняем их к нулю
.03
0
0
0
аzyx
xy
xz
yz
Вычитая первое уравнение из второго и третьего, получим соответственно
y
x
и
x
z . Подставляя
z
y
x
в четвертое уравнение, найдем a
z
y
x
, следовательно,
),,(
0
aaaM – точка возможного условного экстремума. В этой точке значение функции
3
aV . Из геометрических соображений ясно, что полученное значение является условным
максимумом. Действительно, в условиях задачи объем параллелепипеда не может быть
неограниченно большим, поэтому естественно ожидать, что при каких-то определенных
значениях сторон этот объем будет наибольшим.

Страницы