ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
25
Пусть в результате эксперимента получено
n
значений функции
y
при
соответствующих значениях аргумента
x
. Результаты сведены в таблицу
x
1
x
2
x
…
i
x
…
n
x
y
1
y
2
y
…
i
y
…
n
y
Вид функции )(xfy устанавливается или из теоретических соображений, или на
основании характера расположения на плоскости точек, соответствующих
экспериментальным значениям. Пусть, например, эти точки расположены так, как показано
на рис. 1.2.
В данном случае, учитывая, что при проведении
эксперимента имеют место погрешности, естественно
предположить, что искомую функцию
)(xfy
нужно
искать в виде линейной функции
baxy
. Ограничимся
только этим случаем линейной зависимости между
x
и y .
Чтобы подобрать коэффициенты
a и b, воспользуемся
методом наименьших квадратов, который заключается в
следующем. Рассмотрим сумму квадратов разностей
значений
i
y
, даваемых экспериментом, и функции
baxy в соответствующих точках
n
i
ii
baxybaS
1
2
)(),(.
Подберем параметры a и b так, чтобы эта сумма имела наименьшее значение. Таким
образом, задача свелась к исследованию функции ),( baS на экстремум.
Находим частные производные
i
n
i
ii
xbaxy
a
S
1
)(2
,
n
i
ii
baxy
b
S
1
)(2
и, приравнивая их к нулю, получаем линейную систему двух уравнений с двумя
неизвестными
a и b .
.0
0
11
111
2
bпxay
xbxaxy
n
i
i
n
i
i
n
i
n
i
n
i
iiii
(1.16)
Из этой системы находим числа
a
и
b
, затем, подставляя их в уравнение baxy
,
получаем искомую аналитическую зависимость.
Тот факт, что функция ),( baS в найденной точке ),( baM имеет минимум, легко
устанавливается с помощью достаточного признака экстремума. Действительно, здесь
n
i
i
x
a
S
1
2
2
2
2 ,
n
i
i
x
ba
S
1
2
2 , n
b
S
2
2
2
,
следовательно,
2
22 2
22
22
11
4(2)
nn
ii
ii
SS S
Dnxx
ab ab
.
x
2
y
O
1
y
n
y
i
y
y
n
x
i
x
2
x
1
x
Рис. 1.2
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- …
- следующая ›
- последняя »
