Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

24
Таким образом, при заданной сумме 12 а длин ребер параллелепипеда наибольший
объем имеет куб со стороной, равной а.
Тем самым доказано неравенство
33
)
3
(
zyx
axyzV
, или
3
3
zyx
xyz
,
т. е. среднее геометрическое трех положительных чисел не больше их среднего
арифметического.
Пример 1.3.6. Найти условные экстремумы функции yxz 2
при 5
22
yx .
Решение. Составим функцию Лагранжа
)5(2),,(
22
yxyxyxL
.
Система уравнений (1.15) принимает вид
.05
022
021
22
yx
y
x
Полученная система имеет два решения:
2
1
,2,1
111
yx ;
222
1
1, 2,
2
xy
  .
Таким образом, имеем две точки возможного экстремума:
)2,1(
1
M и )2,1(
2
M Исследуем
характер этих точек с помощью достаточного признака (Теорема 1.3.3). Имеем:
//
(, , ) 2
xx
Lxy
,
//
(, , ) 0
xy
Lxy
,
//
(, , ) 2
yy
Lxy
. Так как 5),(
22
yxyx
, то
xyx
x
2),(
/
, yyx
y
2),(
/
. Если
2
1
,2,1
yx
, то
1
//
xx
L
,
0
//
xy
L , 1
//
yy
L ,
2
/
x
,
4
/
y
, следовательно,
,020
104
012
420
т. е. функция имеет условный максимум в точке )2,1(
1
M , равный 5
max
z . Аналогично для
точки
)2,1(
2
M : 1
//
xx
L , 0
//
xy
L , 1
//
yy
L , 2
/
x
, 4
/
y
,
,020
104
012
420
т. е. в точке )2,1(
2
M функция имеет условный минимум, равный 5
min
z .
1.3.4. Метод наименьших квадратов
В различных исследованиях на основании эксперимента требуется установить
аналитическую зависимость )(xfy между двумя переменными величинами
x
и
y
.
Например, между температурой и удлинением прямолинейного металлического стержня.
Широко распространенным методом решения этой задачи является метод наименьших
квадратов.

Страницы