Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 250 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

250
7.5. Аппроксимация функции на основании экспериментальных
данных по методу наименьших квадратов
7.5.1. Постановка задачи
Пусть проводится эксперимент, целью которого является исследование зависимости
некоторой физической величины
y
от физической величины
x
(например, зависимости
пути, пройденного телом, от времени и т. д.), или одним из численных методов получено
решение дифференциального уравнения. В результате имеется
n значений функции
y
при
соответствующих значениях аргумента
x
. Результаты записаны в табл. 7.18.
Таблица 7.18
Таблица результатов эксперимента
№
1 2 …
i
…
n
x
1
x
2
x
…
i
x
…
n
x
y
1
y
2
y
…
i
y
…
n
y
Требуется установить функциональную зависимость величины
y
от величины
x
).(
xy
(7.60)
Если построить график этой зависимости, то можно заметить, что экспериментальные
точки обнаруживают некоторые отклонения от видимой общей закономерности (рис. 7.20).
Эти отклонения связаны с неизбежными при всяком опыте ошибками измерения или
погрешностями вычислений.
Рис. 7.20.
Поэтому нужно так подобрать функцию )(xy
, чтобы по возможности точно
определить общую тенденцию зависимости
y
от
x
, но вместе с тем сгладить
незакономерные, случайные уклонения, связанные с названными выше ошибками.
Для решения этой задачи обычно применяют расчетный метод, известный под
названием «метода наименьших квадратов». Этот метод дает возможность при заданном
типе зависимости )(
xy
так выбрать ее числовые параметры, чтобы кривая )(xy
в
известном смысле наилучшим образом отображала экспериментальные данные.
7.5.2. Выбор типа кривой
Тип кривой может быть выбран из различных соображений. Часто этот вопрос
решается непосредственно по внешнему виду экспериментальной зависимости (т. е. по
расположению экспериментальных точек). Пусть, например, экспериментальные точки
расположены на координатной плоскости так, как изображено на рис. 7.21.
Рис. 7.21. Рис. 7.22.

Страницы