Динамика атмосферы. Аргучинцев В.К. - 5 стр.

личины ϕ (изотермами, изобарами, изогипсами и т.д.), изображающими двумерное поле распре-
деления величины ϕ на данной плоскости или поверхности.
      Hа одной и той же изоповерхности или изолинии значение величины ϕ одинаково. Наи-
большие разности скалярной величины ϕ , приходящиеся на единицу расстояния, получаются при
переходе от одной поверхности к другой по кратчайшему расстоянию между ними, т.е. в направ-
лениях нормалей n к изоповерхностям. Вектор, показывающий направление наибольшего роста
ϕ и по величине равный производной по этому направлению, называется градиентом скалярной
величины ϕ .




                                            Рис.1

      Обозначая единичный вектор нормали к изоповерхности, направленный в сторону роста ϕ ,
      →
через no , градиент величины ϕ выразится формулой

                                               →     →   ∂ϕ
                                     grad ϕ = G = no        .                         (1.2.2)
                                                         ∂n

      Абсолютная величина этого вектора определяется выражением

                                                    ∆ϕ ∂ϕ
                                   grad ϕ = lim       =   ,
                                            ∆ n→0
                                                    ∆n ∂n

      Следовательно, градиент есть вектор, направленный по нормали к изоповерхности ϕ в сто-
рону роста данной величины и численно равный производной от этой величины по нормали к изо-
поверхности. Градиент скалярной величины образует векторное поле.
      Градиент ϕ как и любой другой вектор, можно спроектировать на оси координат и пред-
                                                                                           →

ставить в виде векторной суммы его составляющих по осям координат. Проекции градиента G
некоторой величины ϕ на оси координат определяют изменения величины ϕ в направлениях, со-
ответствующих координатных осей и равняются частным производным от величины ϕ по коор-
динатам. Например, проекции градиента на оси декартовой системы координат равны:


                                                    5