Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

L
p
X
Ω B
x: Ω 3 ω 7→ x(ω) ∈ B
B f
?
∈ B
?
Ω 3 ω 7→ f
?
(x(ω))
Ω
Z
f
?
(x(ω))µ(dω).
1.3    Êîìåíòàðèè è ëèòåðàòóðíûå óêàçàíèÿ.

Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ÷èòàòåëü çíàêîì ñ òåîðèåé ìíîæåñòâ â îáúåìå
êóðñà àíàëèçà äëÿ òåõíè÷åñêèõ âóçîâ èëè íåñêîëüêèõ ïåðâûõ ãëàâ êíèã
[1, 2]. Äëÿ äàëüíåéøåãî îçíàêîìëåíèÿ ñ òåîðèåé ìíîæåñòâ ìîæíî ðåêî-
ìåíäîâàòü êíèãó [3].
    Äëÿ áîëüøèíñòâà ðàññìàòðèâàåìûõ íàìè ïðèëîæåíèé äîñòàòî÷íî çíà-
íèÿ ñëåäóþùèõ òåì: îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà, òåîðåìà Ëåáåãà î ïðåäåëü-
íîì ïåðåõîäå â èíòåãðàëå , òåîðåìà Ðèññà-Ôèøåðà î ïîëíîòå ïðîñòðàí-
ñòâà Lp , íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà è Ìèíêîâñêîãî. Ýòè òåìû èçëîæåíû â
ïàðàãðàôå, ïîñâÿùåííîì èíòåãðàëó Ëåáåãà. Èçó÷åíèåì ýòîãî ïàðàãðà-
ôà ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ïðè ïåðâîì ÷òåíèè. Îäíàêî çíàíèå òåîðèè ìå-
ðû íåîáõîäèìî äëÿ èçó÷åíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé òåîðèè ðàññåÿíèÿ,
òåîðèè òåïëîâîãî ðàâíîâåñèÿ êëàññè÷åñêèõ è êâàíòîâûõ ñèñòåì, òåîðèè
íåðàâíîâåñíûõ êâàíòîâûõ ñèñòåì, áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ è ìíîãèõ äðó-
ãèõ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, ïîýòîìó ìû ñ÷èòàåì, ÷òî çíàêîìñòâî
ñ îñíîâàìè òåîðèè ìåðû æåëàòåëüíî äëÿ ñïåöèàëèñòà ïî ìàòåìàòè÷åñêîé
ôèçèêå.
    Àíàëèç ìåòîäà Äàíèýëÿ â òåîðèè èíòåãðàëà åñòü â [5], ñòð. 459-461.
Ïðè îáñóæäåíèè çàòðîíóòûõ íàìè ýëåìåíòàðíûõ âîïðîñîâ òåîðèè èíòå-
ãðàëà íåò ïðèíöèïèàëüíîé ðàçíèöû ìåæäó ìåòîäîì Äàíèýëÿ, êîãäà ñíà-
÷àëà ââîäèòñÿ èíòåãðàë, à ïîòîì ìåðà, è òðàäèöèîííûì ìåòîäîì, êîãäà
ñíà÷àëà ââîäèòñÿ ìåðà, à ïîòîì èíòåãðàë. ßñíî, ÷òî çàäàíèå ñèñòåìû
ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà X ýêâèâàëåíòíî çàäàíèþ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ
ôóíêöèé ýòèõ ïîäìíîæåñòâ, à çàäàíèå ìåðû íà ñèñòåìå ïîäìíîæåñòâ
ýêâèâàëåíòíî çàäàíèþ ýëåìåíòàðíîãî èíòåãðàëà íà ìíîæåñòâå õàðàêòå-
ðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé.
    Ïîíÿòèå èíòåãðàëà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ôóíêöèè ñî çíà÷åíèÿìè â
áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå.
    Ïóñòü Ω -êîìïàêòíîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, B -ðåôëåêñèâíîå
áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî,

                         x : Ω 3 ω 7→ x(ω) ∈ B

-íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ñî çíà÷åíèÿìè â B . Åñëè f ? ∈ B ? , òî ôóíêöèÿ

                           Ω 3 ω 7→ f ? (x(ω))

íåïðåðûâíà íà Ω, è îïðåäåëåí èíòåãðàë
                          Z
                            f ? (x(ω))µ(dω).

                                   97

Страницы