Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A
n
|A
n
| < n
2
2
Z
b
a
|ψ
n
(t)|dt < 2n
−2
.
|B
n
| < n
2
Z
b
a
|ψ
n
(t)|dt < n
−2
.
Q :=
\
1≤k<∞
[
k≤n<∞
(A
n
[
B
n
).
Q
∀k : |Q| ≤ |
[
k≤n<∞
(A
n
[
B
n
)| <
X
k≤n<∞
(|A
n
| + |B
n
|) <
O(1/k) → 0 , k → ∞.
|Q| = 0
x ∈ E = [a , b] \ Q.
∃k : x 6∈
[
k≤n<∞
(A
n
[
B
n
).
(∀(n ≥ k) : x 6∈ A
n
) ⇒ (∀(n ≥ k) : lim sup
h→0
|h
−1
Z
x+h
x
ψ
n
(t)dt| ≤ n
−2
).
∀(n ≥ k , > 0) , ∃δ
1
(n , ) , ∀(0 < h < δ
1
(n , )) :
|h
−1
Z
x+h
x
ψ
n
(t)dt| < n
−2
.
∀(n ≥ k) : x 6∈ B
n
,
∀(n ≥ k) , : |ψ
n
(x)| ≤ n
−2
,
Èç òåîðåìû 1.2.18 ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî An èçìåðèìî è
                                Z b
                             2
                    |An | < n 2     |ψn (t)|dt < 2n−2 .
                                    a

Èç íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà (ñì. ñòð. 66) ñëåäóåò, ÷òî
                                    Z   b
                       |Bn | < n2
                                            |ψn (t)|dt < n−2 .
                                    a

Ïîëîæèì                        \            [           [
                      Q :=                        (An       Bn ).
                             1≤k<∞ k≤n<∞

Ìíîæåñòâî Q èçìåðèìî è
                     [    [        X
        ∀k : |Q| ≤ |   (An Bn )| <   (|An | + |Bn |) <
                      k≤n<∞                            k≤n<∞

          O(1/k) → 0 , k → ∞.

Ñëåäîâàòåëüíî, |Q| = 0.
   Ïóñòü
                             x ∈ E = [a , b] \ Q.
Òîãäà                                   [              [
                        ∃k : x 6∈                (An       Bn ).                          (1.196)
                                    k≤n<∞

Èìååì:
                                                                 Z     x+h
                                                            −1
  (∀(n ≥ k) : x 6∈ An ) ⇒ (∀(n ≥ k) : lim sup |h                             ψn (t)dt| ≤ n−2 ).
                                                 h→0               x

Ñëåäîâàòåëüíî,

           ∀(n ≥ k ,  > 0) , ∃δ1 (n , ) , ∀(0 < h < δ1 (n , )) :
                Z x+h
           |h−1
                      ψn (t)dt| < n−2 .                                                   (1.197)
                 x

Çàìåòèì, ÷òî èç (1.196) ñëåäóåò, ÷òî

                             ∀(n ≥ k) : x 6∈ Bn ,

ïîýòîìó
                        ∀(n ≥ k) , : |ψn (x)| ≤ n−2 ,                                     (1.198)

                                            95

Страницы