Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

I
j
∀( > 0) , ∃n() : (1 − )|E|
out
<
X
1≤j≤n()
|I
j
|.
f ∈ L([a , b]) , F (x) :=
Z
x
a
f(t)dt,
∀(x ∈ (a , b)) : M(f | x) := lim sup
h→0
|h
−1
(F (x + h) − F (x))|
E(f | α) := {x | M(f | x) > α}
|E(f | α)| <
2
α
Z
b
a
|f(x)dx.
A(m , n , α) =
[
0≤h≤1/n
{x | |h
−1
(F (x + h) − F (x))| > α + 1/m}.
x 7→ |h
−1
(F (x + h) − F (x))|
A(m , n , α)
E(f | α) =
[
m>0
\
n>0
A(m , n , α)
x ∈ E(f | α),
{h
j
(x) | 1 ≤ j < ∞}
x + h
j
(x) ∈ (a , b) , ∀j : |h
−1
j
(x)(F (x + h
j
(x)) − F (x))| > α.
I
j
(x) = {[x − |h
j
(x)|, x + |h
j
(x)|] | x ∈ (a , b) , 1 ≤ j < ∞}
Ñëåäñòâèå 1.2.5. Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 1.2.17, òî íàéäóò-
ñÿ òàêèå óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì òåîðåìû 1.2.17 îòðåçêè Ij , ÷òî
                                                                   X
               ∀( > 0) , ∃n() : (1 − )|E|out <                           |Ij |.
                                                                 1≤j≤n()

   Ïóñòü
                                Z   x
    f ∈ L([a , b]) , F (x) :=           f (t)dt,
                                a
    ∀(x ∈ (a , b)) : M (f | x) := lim sup |h−1 (F (x + h) − F (x))|                  (1.194)
                                           h→0

Òåîðåìà 1.2.18. Ìíîæåñòâî
                      E(f | α) := {x | M (f | x) > α}

èçìåðèìî è
                                                   Z   b
                                      2
                         |E(f | α)| <                      |f (x)dx.                 (1.195)
                                      α            a

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèì
                    [
     A(m , n , α) =     {x | |h−1 (F (x + h) − F (x))| > α + 1/m}.
                     0≤h≤1/n

Òàê êàê ôóíêöèÿ
                        x 7→ |h−1 (F (x + h) − F (x))|
íåïðåðûâíà, ìíîæåñòâî A(m , n , α) åñòü îáúåäèíåíèå îòêðûòûõ ìíî-
æåñòâ è îòêðûòî. Ïîýòîìó ìíîæåñòâî
                              [ \
                   E(f | α) =        A(m , n , α)
                                          m>0 n>0

áîðåëåâñêîå è, ñëåäîâàòåëüíî, èçìåðèìî.
   Åñëè
                             x ∈ E(f | α),
òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {hj (x) | 1 ≤ j < ∞}, ÷òî

       x + hj (x) ∈ (a , b) , ∀j : |h−1
                                     j (x)(F (x + hj (x)) − F (x))| > α.

Ñëåäîâàòåëüíî, îòðåçêè

       Ij (x) = {[x − |hj (x)| , x + |hj (x)|] | x ∈ (a , b) , 1 ≤ j < ∞}

                                             93

Страницы