Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

a
0
= sup{|I
α
| | I
α
∈ S
0
}.
S
0
I
1
|I
1
| >
1
2
a
0
.
S
1
= {I
α
| I
α
\
I
1
= ∅}
a
1
= sup{|I
α
| | I
α
∈ S
1
}.
S
1
I
2
, I
2
T
I
1
= ∅
|I
2
| >
1
2
a
1
.
S
2
= {I
α
| I
α
\
I
2
= ∅}
E ⊂
[
1≤j≤n
I
j
, I
j
\
I
i
= ∅,
{I
j
| 1 ≤ j < ∞}
{S
j
| 1 ≤ j < ∞} S
0
∀(j ≥ 0) : S
j+1
⊂ S
j
, I
j+1
∈ S
j
, I
j+1
6∈ S
j+1
,
∀(i 6= j) : I
j
\
I
i
= ∅ , |I
j+1
| >
1
2
sup{|I
α
| | I
α
∈ S
j
}
x ∈ E \
[
1≤j≤n
I
j
.
< (x ,
[
1≤j≤n
I
j
),
   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü

                           a0 = sup{|Iα | | Iα ∈ S0 }.

Ïî îïðåäåëåíèþ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè ñèñòåìà S0 ñîäåðæèò òàêîé îòðå-
çîê I1 , êîòîðûé óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ:

                                         1
                                  |I1 | > a0 .
                                         2
Ïîëîæèì                                     \
                           S1 = {Iα | Iα        I1 = ∅}
Ïóñòü
                           a1 = sup{|Iα | | Iα ∈ S1 }.
Ïî îïðåäåëåíèþ   òî÷íîé âåðõíåé ãðàíè ñèñòåìà S1 ñîäåðæèò òàêîé îòðå-
çîê I2 , I2 I1 = ∅, êîòîðûé óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ:
           T

                                         1
                                  |I2 | > a1 .
                                         2
Ïîëîæèì                                     \
                           S2 = {Iα | Iα        I2 = ∅}
è ïðîäîëæèì ýòîò ïðîöåññ ïî èíäóêöèè. Òàê ìû ïîëó÷èì, ÷òî ëèáî íà
íåêîòîðì øàãå              [          \
                     E⊂       Ij , Ij   Ii = ∅,
                               1≤j≤n

ëèáî ìû ïîëó÷èì ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî îòðåçêîâ {Ij | 1 ≤ j < ∞} è ñ÷åò-
íîå ìíîæåñòâî {Sj | 1 ≤ j < ∞} ïîäñåìåéñòâ ñåìåéñòâà S0 , êîòîðûå
óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì:

        ∀(j ≥ 0) : Sj+1 ⊂ Sj , Ij+1 ∈ Sj , Ij+1 6∈ Sj+1 ,
                       \                   1
        ∀(i 6= j) : Ij   Ii = ∅ , |Ij+1 | > sup{|Iα | | Iα ∈ Sj }   (1.192)
                                           2
Ïóñòü                                       [
                               x∈E\              Ij .
                                        1≤j≤n

Åñëè                                         [
                              < dist(x ,           Ij ),
                                            1≤j≤n


                                       91

Страницы