Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

F
d
(x) :=
X
x(j)<x
F (x(j) + 0) − F (x(j) − 0).
F
ac
(x) =
Z
x
a
ω(t) dt , F
sing
(x) = λ([a , x)
\
B),
ω(t) λ
[a , b] , B
F
sing
F (x)
[a , b]
F
d
= F
sing
≡ 0 F (x) = F (a) +
Z
x
a
f(t)dt , f(t) ∈ L([a , b]).
f f ∈ L([a , b])
> 0 δ() > 0
A δ()
Z
A
|f(x)|dx < .
> 0
f ∈ L([a , b])
φ ∈ C([a , b])
Z
b
a
|f(x) − φ(x)|dx < /2.
M = sup{|φ(x)| | x ∈ [a , b]}.
|A| A
∀(|A| < /2M) :
Z
A
|f(x)|dx <
Z
A
|f(x) − φ(x)|dx +
Z
A
|φ(x)|dx <
/2 + M|A| < .
ãäå                                      X
                    Fd (x) :=                  F (x(j) + 0) − F (x(j) − 0).
                                     x(j)0     ñóùåñòâóåò òàêîå                   δ() > 0,   ÷òî äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà
A,    ìåðà êîòîðîãî ìåíüøå                δ(),   âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî
                                            Z
                                                  |f (x)|dx < .                     (1.191)
                                              A

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî ëåììå 1.1.12 (ñì. ñòð. 28) äëÿ äàííîãî  > 0
è äàííîé ôóíêöèè f ∈ L([a , b]) ñóùåñòâóåò òàêàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ
φ ∈ C([a , b]), ÷òî
                      Z b
                          |f (x) − φ(x)|dx < /2.
                                     a
Ïóñòü
                             M = sup{|φ(x)| | x ∈ [a , b]}.
Òîãäà (íàïîìíèì, ÷òî |A| -ýòî ìåðà Ëåáåãà ìíîæåñòâà A)
                     Z             Z                    Z
    ∀(|A| < /2M ) :   |f (x)|dx <   |f (x) − φ(x)|dx +   |φ(x)|dx <
                             A                         A                       A
                        /2 + M |A| < .

Òåîðåìà äîêàçàíà.

                                                       89

Страницы