Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

C([a , b])
[a , b]
A ⊂ [a , b]
µ(F | A) :=
Z
I(A | x)dF (x)
F (x) F (x) ≡
x
|A| :=
Z
b
a
I(A | x)dx.
{x(j)} F (x)
x(j): F (x(j) + 0) − F (x(j) − 0) > 0.
{x(j)}
F
d
(x) :=
X
x(j)<x
F (x(j) + 0) − F (x(j) − 0).
F
c
(x) := F (x) − F
d
(x).
F
c
(x) [a , b]
λ(F
c
| ·)
[a , b]
∀(α , β) ⊂ [a , b] : λ(F
c
| (α , β)) = F
c
(β) − F
c
(α).
λ(F
c
| ·) [a , b]
λ(F
c
| ·)
F (x) [a , b]
F (x) = F
ac
(x) + F
sing
(x) + F
d
(x),
Òåïåðü ðàññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî C([a , b]) âñåõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé
íà îòðåçêå [a , b] êàê ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé â ñõåìå Äà-
íèýëÿ è èíòåãðàë Ðèìàíà-Ñòèëüòüåñà êàê ýëåìåíòàðíûé èíòåãðàë è ïî-
ñòðîèì ðàñøèðåíèå ýòîãî èíòåãðàëà. Ïîëó÷åííûé èíòåãðàë íàçûâàåòñÿ
èíòåãðàëîì Ëåáåãà-Ñòèëüòüåñà è ìû áóäåì îáîçíà÷àòü åãî òåì æå ñèìâî-
ëîì, ÷òî è èíòåãðàë Ðèìàíà-Ñòèëüòåñà. Åñëè õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíê-
öèÿ ìíîæåñòâà A ⊂ [a , b] èíòåãðèðóåìà, òî ÷èñëî
                                   Z
                        µ(F | A) := I(A | x)dF (x)

íàçûâàåòñÿ ìåðîé, ïîðîæäåííîé ìîíîòîííîé ôóíêöèåé F (x). Åñëè F (x) ≡
x, òî èíòåãðàë íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì Ëåáåãà, à ìåðà
                                Z b
                         |A| :=     I(A | x)dx.
                                   a

-ìåðîé Ëåáåãà.Ïóñòü {x(j)} -ìíîæåñòâî òî÷åê ðàçðûâà ôóíêöèè F (x):

                  x(j) : F (x(j) + 0) − F (x(j) − 0) > 0.

Ìíîæåñòâî {x(j)} íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíî. Îïðåäåëèì ôóíêöèþ
                        X
              Fd (x) :=     F (x(j) + 0) − F (x(j) − 0).
                         x(j)

Страницы