Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f(t) ∈ L([a , b])
F (x) =
Z
x
a
f(t)dt
[a , b]
E ⊂ [a , b]
|E|
out
= inf{|A| | E ⊂ A}.
E
|A
[
B|
out
≤ |A|
out
+ |B|
out
.
S
0
= {I
α
| I
α
= [a
α
, b
α
] ⊂ [a , b]}
E ⊂ [a , b]
1. E ⊂
[
α
I
α
, ∀α : E
\
I
α
6= ∅.
2. ∀(x ∈ E , > 0) , ∃(I(x , ) ∈ S
0
) : x ∈ I(x , ) , 0 < |I(x , )| < .
S
0
E
{I
j
| 1 ≤ j < ∞} ⊂ S
0
,
I
j
∀(j 6= i) : I
j
\
I
i
= ∅.
lim
n→∞
|E \
[
1≤j≤n
I
j
|
out
= 0.
Ñëåäñòâèå 1.2.4. Åñëè f (t) ∈ L([a , b]), òî ôóíêöèÿ
                                           Z    x
                                 F (x) =            f (t)dt
                                            a


àáñîëþòíî íåïðåðûâíà íà îòðåçêå            [a , b].

   Äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà E ⊂ [a , b] ìîæíî îïðåäåëèòü âíåøíþþ ìåðó:

                           |E|out = inf{|A| | E ⊂ A}.

Åñëè ìíîæåñòâî E èçìåðèìî ïî Ëåáåãó, òî åãî âíåøíÿÿ ìåðà ðàâíà ìåðå
Ëåáåãà. Îòìåòèì î÷åâèäíîå íåðàâåíñòâî
                               [
                          |A       B|out ≤ |A|out + |B|out .

Îïðåäåëåíèå 1.2.21. Ñèñòåìà îòðåçêîâ
                      S0 = {Iα | Iα = [aα , bα ] ⊂ [a , b]}

ïîêðûâàåò â ñìûñëå Âèòàëè ìíîæåñòâî E ⊂ [a , b], åñëè âûïîëíåíû óñëî-
âèÿ:
          [             \
   1. E ⊂   Iα , ∀α : E   Iα 6= ∅.
           α
   2. ∀(x ∈ E ,  > 0) , ∃(I(x , ) ∈ S0 ) : x ∈ I(x , ) , 0 < |I(x , )| < .

Òåîðåìà 1.2.17. Åñëè ñèñòåìà îòðåçêîâ S                       0 ïîêðûâàåò â ñìûñëå Âè-
òàëè ìíîæåñòâî       E,   òî îíà ñîäåðæèò òàêóþ íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíóþ
ïîäñèñòåìó
                               {Ij | 1 ≤ j < ∞} ⊂ S0 ,
êîòîðàÿ óäâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì:
   1. Îòðåçêè Ij íå ïåðåñåêàþòñÿ:

                                                \
                               ∀(j 6= i) : Ij         Ii = ∅.

   2. Âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå:
                                          [
                            lim |E \                Ij |out = 0.
                           n→∞
                                         1≤j≤n



                                           90

Страницы