Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

∃(I(x , )) : x ∈ I(x , ) , I(x , )
\ [
1≤j≤n
I
j
= ∅.
I
j
X
1≤j<∞
|I
j
| ≤ b − a
lim
j→∞
|I
j
| = 0.
lim
n→∞
sup{|I
α
| | I
α
∈ S
n
} = 0.
∃(m > n) : I(x , ) ∈ S
m−1
, I(x , ) 6∈ S
m
.
I(x , )
\
I
m
6= ∅ , 2|I
m
| > |I(x , )|.
I
j
= [α
j
, β
j
] T
j
=
[3α
j
− 2β
j
, 3β
j
− 2α
j
] ⊃ [α
j
, β
j
] T
j
6∈ S
0
I(x , ) ⊂ T
m
.
E \
[
1≤j≤n
I
j
⊂
[
m>n
T
m
,
|E \
[
1≤j≤n
I
j
|
out
≤
X
m>n
|T
m
| = 5
X
m>n
|I
m
| → 0 , n → ∞.
|E|
out
≤ |E \
[
1≤j≤n
I
j
|
out
+
X
1≤j≤n
|I
j
|,
òî ïî óñëîâèþ
                                                               \ [
             ∃(I(x , )) : x ∈ I(x , ) , I(x , )                         Ij = ∅.
                                                                  1≤j≤n

Òàê êàê îòðåçêè Ij íå ïåðåñåêàþòñÿ, òî
                            X
                                |Ij | ≤ b − a
                                     1≤j<∞

ïîýòîìó

                                     lim |Ij | = 0.
                                     j→∞

Íî îòñþäà â ñèëó (1.192) ñëåäóåò, ÷òî

                            lim sup{|Iα | | Iα ∈ Sn } = 0.
                            n→∞

Ñëåäîâàòåëüíî,

                  ∃(m > n) : I(x , ) ∈ Sm−1 , I(x , ) 6∈ Sm .

Ýòî ñîîòíîøåíèå âûïîëíåíî òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè
                         \
                 I(x , ) Im 6= ∅ , 2|Im | > |I(x , )|.                             (1.193)

Êàæäîìó îòðåçêó Ij = [αj , βj ] ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå îòðåçîê Tj =
[3αj − 2βj , 3βj − 2αj ] ⊃ [αj , βj ]. Âîîáùå ãîâîðÿ, Tj 6∈ S0 . Èç (1.193)
ñëåäóåò, ÷òî
                               I(x , ) ⊂ Tm .
Ñëåäîâàòåëüíî,
              [      [
         E\     Ij ⊂   Tm ,
                1≤j≤n         m>n

ïîýòîìó
                  [                  X                 X
          |E \           Ij |out ≤         |Tm | = 5           |Im | → 0 , n → ∞.
                 1≤j≤n               m>n               m>n

Òåîðåìà äîêàçàíà.
   Òàê êàê                                  [                   X
                      |E|out ≤ |E \                Ij |out +           |Ij |,
                                           1≤j≤n               1≤j≤n

òî èç òåîðåìû 1.2.17 âûòåêàåò

                                              92

Страницы