Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

E(f | α) {I
j
(x
j
) | 1 ≤ j ≤
n()}
(1 − )|E(f | α) <
X
1≤j≤n()
|I
j
(x
j
)| = 2
X
1≤j≤n()
|h
j
(x
j
)|.
I
j
(x
j
)
Z
b
a
|f(t)|dt ≥
X
1≤j≤n()
|F (x
j
+ h
j
(x
j
)) − F (x
j
)| ≥ α
X
1≤j≤n()
|h
j
(x
j
)|.
2
Z
b
a
|f(t)|dt > (1 − )α|E(f | α).
f ∈ L([a , b])
F (x) :=
Z
x
a
f(t)dt,
F
:
dF (x)
dx
= f(x).
Z
b
a
|f(t)|dt = 1.
{φ
n
} ⊂ C([a , b])
∀n :
Z
b
a
|f(t) − φ
n
(t)|dt < n
−4
.
ψ
n
(x) = f(x) − φ
n
(x),
A
n
= {x | M(ψ
n
| x) > n
−2
},
B
n
= {x | |ψ
n
(x)| > n
−2
}.
ïîêðûâàþò â ñìûñëå Âèòàëè ìíîæåñòâî E(f | α). Ïóñòü {Ij (xj ) | 1 ≤ j ≤
n()} -òàêèå îòðåçêè èç ýòîãî ïîêðûòèÿ, ÷òî
                              X                   X
           (1 − )|E(f | α) <      |Ij (xj )| = 2   |hj (xj )|.
                                                 1≤j≤n()                       1≤j≤n()


Òàê êàê îòðåçêè Ij (xj ) íå ïåðåñåêàþòñÿ, òî
    Z     b                   X                                                            X
              |f (t)|dt ≥                 |F (xj + hj (xj )) − F (xj )| ≥ α                       |hj (xj )|.
      a                     1≤j≤n()                                                   1≤j≤n()


Ñëåäîâàòåëüíî,                    Z   b
                              2           |f (t)|dt > (1 − )α|E(f | α).
                                  a
Òàê êàê  ïðîèçâîëüíîå ìàëîå ïîëîæèòåëåëüíîå ÷èñëî, òî òåîðåìà äîêà-
çàíà.

Òåîðåìà 1.2.19. Åñëè f ∈ L([a , b]) è
                                                            Z    x
                                            F (x) :=                 f (t)dt,
                                                             a

òî ôóíêöèÿ         F   ïî÷òè âñþäó äèôôåðåíöèðóåìà è

                                                         dF (x)
                                           ï.â.      :          = f (x).
                                                          dx
   Äîêàçàòåëüñòâî. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
                          Z b
                              |f (t)|dt = 1.
                                                     a

Èç ëåììû 1.1.12 ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåïðå-
ðûâíûõ ôóíêöèé {φn } ⊂ C([a , b]),÷òî
                                           Z     b
                               ∀n :                  |f (t) − φn (t)|dt < n−4 .
                                             a

Ïîëîæèì

                                  ψn (x) = f (x) − φn (x),
                                  An = {x | M (ψn | x) > n−2 },
                                  Bn = {x | |ψn (x)| > n−2 }.

                                                           94

Страницы