Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

f(x)
[a , b]
[a , b] δ > 0
(
X
i
(b
i
− a
i
) < δ) ⇒ (
X
i
|f(a
i
) − f(b
i
)| < 1).
T = {a = x
0
< x
1
< . . . < x
n
= b}
∀i : x
i+1
− x
i
< δ.
j(k)
j(0) = 0 , j(k + 1) = max{j |
X
j(k)≤i<j
(x
i+1
− x
i
) < δ}.
X
0≤j<n
|f(x
j+1
) − f(x
j
)| =
X
0≤k<N
(
X
j(k)≤i<j(k+1)
|f(x
i+1
) − f(x
i
)|)
< (N + 1) , N = [(b −a)/δ].
f(x)
[a , b]
x 7→ V (f)
x
a
[a , b]
    Î÷åâèäíî, ÷òî ëþáàÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà.

Òåîðåìà 1.2.13. Àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ èìååò îãðàíè÷åí-
íóþ âàðèàöèþ.

     Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x) àáñîëþòíî íåïðåðûâíà íà îò-
ðåçêå [a , b]. Äîêàæåì, ÷òî îíà èìååò îãðàíè÷åííóþ âàðèàöèþ íà îòðåçêå
[a , b]. Íàéäåì òàêîå δ > 0, ÷òî
                         X                   X
                     (    (bi − ai ) < δ) ⇒ (  |f (ai ) − f (bi )| < 1).
                          i                         i


Ïóñòü
                              T = {a = x0 < x1 < . . . < xn = b}
-ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî

                                      ∀i : xi+1 − xi < δ.

Îïðåäåëèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü j(k) ïî ïðàâèëó:
                                                          X
              j(0) = 0 , j(k + 1) = max{j |                        (xi+1 − xi ) < δ}.
                                                        j(k)≤i

Страницы