Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

V (f)
b
a
= |f(a) − f(b)|.
f(x) [a , b]
V (f)
b
a
≤ (b − a) sup{|f
0
(x)| | x ∈ (a , b)}.
f(x) =
(
0 , x = 0,
√
x cos(
π
2x
) , 0 < x ≤ 1.
[0 , 1]
T = {x
0
= 0 < 1/2n < 1/(2n − 1) < . . . x
2n
= 1,
V (T , f)
1
0
=
X
1≤j≤n
1
√
2j
∼
√
n → ∞, n → ∞.
f g
αf + βg
V (αf + βg)
b
a
≤ |α|V (f)
b
a
+ |β|V (g)
b
a
.
f a ≤ c ≤ b
V (f)
b
a
= V (f)
c
a
+ V (f)
b
c
.
T [a , b]
T
0
T c
T
0
= T
1
[
T
2
,
T
1
T
0
[a , c] T
2
T
0
[c , b]
V (T , f)
b
a
≤ V (T
0
, f) ≤ V (T
1
, f)
c
a
+ V (T
2
)
b
c
≤
V (f)
c
a
+ V (f)
b
c
.
   Ïðèâåäåì ïðèìåðû.
   1. Ëþáàÿ ìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ åñòü ôóíêöèÿ ñ îãðàíè÷åííûì èçìå-
íåíèåì è äëÿ ìîíîòîííîé ôóíêöèè

                               V (f )ba = |f (a) − f (b)|.

   2. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) íà îòðåçêå [a , b] èìååò íåïðåðûâíóþ îãðàíè-
÷åííóþ ïðîèçâîäíóþ, òî

                  V (f )ba ≤ (b − a) sup{|f 0 (x)| | x ∈ (a , b)}.

   3. Íå ëþáàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ èìååò îãðàíè÷åííîå èçìåíåíèå.
Ïðèìåðîì íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ñ íåîãðàíè÷åííûì èçìåíåíèåì ÿâëÿ-
åòñÿ ôóíêöèÿ             (
                          0 , x = 0,
                  f (x) = √         π
                             x cos( 2x ) , 0 < x ≤ 1.
íà îòðåçêå [0 , 1]. Åñëè

              T = {x0 = 0 < 1/2n < 1/(2n − 1) < . . . x2n = 1,

òî                                X    1  √
               V (T , f )10 =         √ ∼ n → ∞ , n → ∞.
                                1≤j≤n
                                       2j

Òåîðåìà 1.2.11. 1. Åñëè ôóíêöèè f è g èìåþò îãðàíè÷åííîå èçìåíåíèå,
òî ôóíêöèÿ   αf + βg      èìååò îãðàíè÷åííîå èçìåíåíèå è

                       V (αf + βg)ba ≤ |α|V (f )ba + |β|V (g)ba .

2. Åñëè ôóíêöèÿ    f    èìååò îãðàíè÷åííîå èçìåíåíèå è              a ≤ c ≤ b,   òî

                              V (f )ba = V (f )ca + V (f )bc .                    (1.188)

   Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðâîå óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà
âòîðîãî óòâåðæäåíèÿ ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå T îòðåçêà [a , b]
è ïóñòü T 0 -ðàçáèåíèå, ïîëó÷åííîå èç ðàçáèåíèÿ T äîáàâëåíèåì òî÷êè c.
Òîãäà                                 [
                              T 0 = T1 T2 ,
ãäå T1 -òî÷êè ðàçáèåíèÿ T 0 , êîòîðûå ëåæàò íà îòðåçêå [a , c], à T2 -òî÷êè
ðàçáèåíèÿ T 0 , êîòîðûå ëåæàò íà îòðåçêå [c , b]. Èìååì:

              V (T , f )ba ≤ V (T 0 , f ) ≤ V (T1 , f )ca + V (T2 )bc ≤
              V (f )ca + V (f )bc .

                                            84

Страницы