Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ν
±
µ
ω
±
(x) ∈ L(X)
∀(A ∈ A) : ν
±
(A) = ±
Z
ω(x)I(A | x)µ(dx).
ω(x) = ω
+
(x) − ω
−
(x).
f(x) ∈ L
p
(X)
ω(x)
l(f) =
Z
ω(x)f(x)µ(dx).
f(x | a) := f(x)I(|ω(x)| < a | x)
f(x) ∈ L
p
(X)
l(f(· | a)) =
Z
ω(x)f(x)I(|ω(x)| < a | x)µ(dx).
L
p
(X)
∀(f ∈ L
p
(X)) : l(f(· | a)) =
Z
ω(x)f(x)I(|ω(x)| < a | x)µ(dx).
|l(f(· | a))| ≤ |kl | L
p
(X)
?
kkf(· | a) | L
p
(X)k.
f(x) = (ω(x))|ω(x)|
q/p
I(|ω(x)| < a | x),
l(f) =
Z
|ω(x)|
q
I(|ω(x)| < a | x) µ(dx) = kω(· | a) | L
q
(X)k
q
≤ kl | L
p
(X)
?
kkf | L
p
(X)k =≤ kl | L
p
(X)
?
kkω(· | a) | L
q
(X)k
q/p
,
kω(· | a) | L
q
(X)k ≤ kl | L
p
(X)
?
k.
ïîýòîìó ìåðû ν ± àáñîëþòíî íåïðåðûâíû îòíîñèòåëüíî ìåðû µ, è â ñèëó
òåîðåìû Ðàäîíà-Íèêîäèìà ñóùåñòâóþò òàêèå ôóíêöèè ω ± (x) ∈ L(X),
÷òî                               Z
                         ±
             ∀(A ∈ A) : ν (A) = ± ω(x)I(A | x)µ(dx).        (1.179)

Ïîëîæèì
                           ω(x) = ω + (x) − ω − (x).                     (1.180)
Èç (1.177) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âñåõ ïðèíèìàþùèõ ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî
çíà÷åíèé ôóíêöèé f (x) ∈ Lp (X) è îïðåäåëåííîé ðàâåíñòâàìè (1.179)-
(1.180) ôóíêöèè ω(x) ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
                              Z
                       l(f ) = ω(x)f (x)µ(dx).              (1.181)

Ïîëîæèì
                       f (x | a) := f (x)I(|ω(x)| < a | x)
Èç (1.181) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âñåõ ïðèíèìàþùèõ ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî
çíà÷åíèé ôóíêöèé f (x) ∈ Lp (X) ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
                           Z
             l(f (· | a)) = ω(x)f (x)I(|ω(x)| < a | x)µ(dx). (1.182)

Ïðåäåëüíûì ïåðåõîäîì (ñì.ëåììó 1.2.5 íà ñòð. 59) ðàâåíñòâî (1.182) ðàñ-
ïðîñòðàíÿåòñÿ íà âñå ôóíêöèè èç Lp (X):
                               Z
  ∀(f ∈ L (X)) : l(f (· | a)) = ω(x)f (x)I(|ω(x)| < a | x)µ(dx). (1.183)
         p


ïðè÷åì, î÷åâèäíî,

               |l(f (· | a))| ≤ |kl | Lp (X)? kkf (· | a) | Lp (X)k.     (1.184)

Ïîäñòàâèâ â óðàâíåíèå (1.184) ôóíêöèþ

                f (x) = sign(ω(x))|ω(x)|q/p I(|ω(x)| < a | x),

ìû ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî:
           Z
    l(f ) = |ω(x)|q I(|ω(x)| < a | x) µ(dx) = kω(· | a) | Lq (X)kq

     ≤ kl | Lp (X)? kkf | Lp (X)k =≤ kl | Lp (X)? kkω(· | a) | Lq (X)kq/p ,

îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî

                      kω(· | a) | Lq (X)k ≤ kl | Lp (X)? k.              (1.185)

                                        82

Страницы