Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

a → ∞,
ω(x) L
q
(X).
a → ∞
L
p
(X) , 1 < p < ∞,
l(f) = I(ωf ),
ω ∈ L
q
(X) q p q = p/(p − 1)
p = 1 p = ∞
[a , b] ⊂ R
1
f(x)
T = {a = x
0
< x
1
, . . . < x
n
= b}
[a , b]
V (T | f)
b
a
=
X
0≤j<n
|f(x
j+1
− f(x
j
)|.
f(x) [a , b]
V (f)
b
a
= sup V (T | f)
b
a
.
f(x)
V (f)
b
a
< ∞.
Ïåðåõîäÿ â (1.185) ê ïðåäåëó a → ∞, ìû ïîëó÷èì, ÷òî âõîäÿùàÿ â (1.183)
ôóíêöèÿ ω(x) ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó Lq (X). Çàòåì ìû ìîæåì ïå-
ðåéòè ê ïðåäåëó a → ∞ â ðàâåíñòâå (1.183). Ëåììà äîêàçàíà.
   Ñîáèðàÿ äîêàçàííûå âûøå ëåììû, ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óòâåð-
æäåíèå.

Òåîðåìà 1.2.10. Ëþáîé            ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé ôóíêöèîíàë íà ïðî-
ñòðàíñòâå    Lp (X) , 1 < p < ∞,          çàäàåòñÿ â âèäå

                                     l(f ) = I(ωf ),

ãäå   ω ∈ Lq (X)   è   q -ñîïðÿæåííûé      ê   p   ïîêàçàòåëü:     q = p/(p − 1).

   Ñëó÷àè p = 1 è p = ∞ -îñîáûå, è ìû èõ ðàññìàòðèâàòü íå áóäåì,
îòîñëàâ ×èòàòåëÿ ê öèòèðîâàííîé â êîìåíòàðèÿõ ëèòåðàòóðå.


1.2.10      Ôóíêöèè ñ îãðàíè÷åííîé âàðèàöèåé è àáñî-

            ëþòíî íåïðåðûâíûå ôóíêöèè.

 ýòîì ïàðàãðàôå ìû äîêàæåì íåñêîëüêî òåîðåì î ôóíêöèÿõ äåéòâè-
òåëüíîé ïåðåìåííîé íà îòðåçêå. Ýòè òåîðåìû ñóùåñòâåííî èñïîëüçóþòñÿ
â ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ðàññåÿíèÿ.
   Ïóñòü íà îòðåçêå [a , b] ⊂ R1 çàäàíà äåéñòâèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ f (x) è
ïóñòü
                   T = {a = x0 < x1 , . . . < xn = b}
-ðàçáèåíèå îòðåçêà [a , b]. Ïîëîæèì
                                           X
                         V (T | f )ba =            |f (xj+1 − f (xj )|.             (1.186)
                                          0≤j

Страницы