Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

V (f)
b
a
≤ V (f)
c
a
+ V (f)
b
c
.
T
1
T
2
[a , c] [c , b]
V (f)
b
a
≥ V (T
1
[
T
2
, f)
b
a
= V (T
1
, f)
c
a
+ V (T
2
, f)
b
c
,
V (f)
c
a
≥ V (f)
c
a
+ V (f)
b
c
.
[a , b] [a , b]
x 7→ V (f)
x
a
− f(x)
V (f)
x+∆x
a
− f(x + ∆x) − (V (f)
x
a
− f(x)) =
V (f)
x+∆x
x
− (f(x + ∆x) − f(x)) ≥
V (f)
x+∆x
x
− |f(x + ∆x) − f(x)| ≥ 0.
f(x) = V (f)
x
a
− (V (f)
x
a
− f(x)).
f(x) [a , b]
> 0 δ() > 0
(a
j
, b
j
) ⊂ [a , b] , 1 ≤ j ≤ n
∀(j 6= i) : (a
j
, b
j
)
\
(a
i
, b
j
) = ∅ ,
X
1≤j≤n
(b
j
− a
j
) < δ()
X
1≤j≤n
|f(a
j
) − f(b
j
)| < .
Òàê êàê ýòî íåðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ, òî
                               V (f )ba ≤ V (f )ca + V (f )bc .
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, äëÿ ëþáûõ ðàçáèåíèé T1 è T2 îòðåçêîâ [a , c] è [c , b]
èìååì:                     [
           V (f )ba ≥ V (T1 T2 , f )ba = V (T1 , f )ca + V (T2 , f )bc ,
Ñëåäîâàòåëüíî,
                               V (f )ca ≥ V (f )ca + V (f )bc .
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Òåîðåìà 1.2.12. Åñëè ôóíêöèÿ èìååò îãðàíè÷åííîå èçìåíåíèå íà îò-
ðåçêå   [a , b],   òî íà îòðåçêå   [a , b]   åå ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ðàçíîñòü
äâóõ ìîíîòîííî íåóáûâàþùèõ ôóíêöèé.

   Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿ
                                   x 7→ V (f )xa − f (x)
íå óáûâàåò. Èìååì:
                     V (f )x+∆x
                           a    − f (x + ∆x) − (V (f )xa − f (x)) =
                     V (f )x+∆x
                           x    − (f (x + ∆x) − f (x)) ≥
                     V (f )x+∆x
                           x    − |f (x + ∆x) − f (x)| ≥ 0.
Ðàâåíñòâî
                          f (x) = V (f )xa − (V (f )xa − f (x)).
äàåò èñêîìîå ïðåäñòàâëåíèå. Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ñëåäñòâèå 1.2.2. Ôóíêöèÿ èìååò îãðàíè÷åííîå èçìåíåíèå â òîì è
òîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè îíà åñòü ðàçíîñòü äâóõ íåóáûâàþùèõ ôóíê-
öèé.

Îïðåäåëåíèå 1.2.20.       Ôóíêöèè f (x) íà îòðåçêå [a , b] íàçûâàåòñÿ àáñî-
ëþòíî íåïðåðûâíîé, åñëè äëÿ ëþáîãî  > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå δ() > 0,
÷òî äëÿ ëþáûõ èíòåðâàëîâ (aj , bj ) ⊂ [a , b] , 1 ≤ j ≤ n, êîòîðûå óäîâëå-
òâîðÿþò óñëîâèÿì
                               \                 X
         ∀(j 6= i) : (aj , bj ) (ai , bj ) = ∅ ,   (bj − aj ) < δ()
                                                       1≤j≤n

âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî
                                X
                                      |f (aj ) − f (bj )| < .
                              1≤j≤n



                                             85

Страницы