Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

L
p
(X),
|l(f)| ≤ kω | L
q
(X)k · kf | L
p
(X)k,
kl | L
p
(X)
?
k ≤ kω | L
q
(X)k.
f(x) := ((ω(x)))|ω(x)|
q/p
kω | L
q
(X)k
−q/p
.
f ∈ L
p
(X) , kfk
p
= 1,
l(f) = kω | L
q
(X)k.
kl | L
p
(X)
?
k = kω | L
q
(X)k.
l
L
p
(X), ω(x) ∈ L
q
(X)
µ I A
σ A
∀(A ∈ A) : ν(A) = l(I(A | ·))
σ l
σ A E
±
ν
ν
ν
±
(A) = ±l(I(A
\
E
±
ν
| ·)).
ν
±
(A) ≤ kl | L
p
(X)
?
kkI(A
\
E
±
ν
| ·) | L
p
(X)k ≤ constµ(A)
1/p
,
   Äîêàçàòåëüñòâî. Èç òåîðåìû 1.1.4 ñëåäóåò, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü (1.175)
êîððåêòíî îïðåäåëÿåò ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë íà Lp (X), èç íåðàâåíñòâà
Ìèíêîâñêîãî ñëåäóåò îöåíêà

                       |l(f )| ≤ kω | Lq (X)k · kf | Lp (X)k,

èç êîòîðîé âûòåêàåò, ÷òî çàäàâàåìûé ôîðìóëîé (1.174) ëèíåéíûé ôóíê-
öèîíàë íåïðåðûâåí è åãî íîðìà óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó

                           kl | Lp (X)? k ≤ kω | Lq (X)k.                     (1.176)

Ïóñòü
                  f (x) := sign((ω(x)))|ω(x)|q/p kω | Lq (X)k−q/p .
Òîãäà
                               f ∈ Lp (X) , kf kp = 1,
è
                                l(f ) = kω | Lq (X)k.
Ñëåäîâàòåëüíî,
                           kl | Lp (X)? k = kω | Lq (X)k .
Ëåììà äîêàçàíà.

Ëåììà 1.2.14. Åñëè l -ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé ôóíêöèîíàë íà ïðîñòðàí-
ñòâå   Lp (X),   òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ ôóíêöèÿ             ω(x) ∈ Lq (X)   ÷òî ñïðàâåä-
ëèâî ðàâåíñòâî      (1.175).

    Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü µ -ìåðà, ïîðîæäåííàÿ èíòåãðàëîì I è A åñòü
σ -àëãåáðà ìíîæåñòâ, èçìåðèìûõ îòíîñèòåëüíî A. Ôîðìóëà

                          ∀(A ∈ A) : ν(A) = l(I(A | ·))                       (1.177)

ïîðîæäàåò σ -àääèòèâíóþ (â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèîíàëà l) ôóíê-
öèþ ìíîæåñòâ íà σ -àëãåáðå A. Ïóñòü Eν± -ìíîæåñòâà, êîòðîûå âõîäÿò â
ðàçëîæåíèå Õàíà ôóíêöèè ν ,
                                                \
                           ν ± (A) = ±l(I(A         Eν± | ·)).                (1.178)

Èç (1.178) ñëåäóåò, ÷òî
                                       \
        ν ± (A) ≤ kl | Lp (X)? kkI(A       Eν± | ·) | Lp (X)k ≤ constµ(A)1/p ,

                                           81

Страницы