Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

µ(A
2
) >
1
2
2
.
E
n
= E
n−1
\ A
n
, A
n
⊂ E
n−1
, A
n
\
A
m
= ∅, n 6= m,
n
= sup{µ(A) | A ⊂ E
n−1
}, 0 <
1
2
n
< µ(A
n
) .
A =
[
n
A
n
.
A ∈ A, µ(A) < ∞
1
2
X
n
n
<
X
n
µ(A
n
) = µ(A) < ∞.
lim
n→∞
n
= 0.
E
0
\ A
µ(E
0
\ A) < 0,
µ
±
(A) = ±µ(A
\
E
±
µ
).
µ
±
σ A
∀(A ∈ A) : µ(A) = µ
+
(A) − µ
−
(A).
f
E
±
µ
∀(A ∈ A, A ⊂ E
+
\
f
E
−
) : µ(A) = 0.
÷òî
                                    1
                            µ(A2 ) > 2 .
                                    2
Ïðîäîëæàÿ ýòîò ïðîöåññ ïî èíäóêöèè, ìû ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ìíîæåñòâ
                                          \
         En = En−1 \ An , An ⊂ En−1 , An Am = ∅ , n 6= m,

è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë
                                           1
            n = sup{µ(A) | A ⊂ En−1 }, 0 < n < µ(An ) .
                                           2
Ïóñòü                              [
                             A=         An .
                                   n

Òàê êàê A ∈ A, òî µ(A) < ∞, è
                  1X       X
                      n <   µ(An ) = µ(A) < ∞.
                  2 n      n

ïîýòîìó
                             lim n = 0.
                             n→∞

Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî E0 \ A îòðèöàòåëüíî è óäîâëåòâîðÿåò íåðà-
âåíñòâó
                          µ(E0 \ A) < 0,
÷åãî, êàê ìû âèäåëè âûøå, áûòü íå ìîæåò.
   Òåîðåìà äîêàçàíà.
   Ïîëîæèì                           \
                       µ± (A) = ±µ(A Eµ± ).                 (1.170)
Îïðåäåëåííûå ðàâåíñòâîì (1.170) ôóíêöèè ìíîæåñòâ µ± íåîòðèöàòåëü-
íû, ñ÷åòíî-àääèòèâíû è ÿâëÿþòñÿ ìåðàìè íà σ -àãåáðå A, ïðè÷åì ñïðà-
âåäëèâî ðàâåíñòâî

                 ∀(A ∈ A) : µ(A) = µ+ (A) − µ− (A).         (1.171)

Ðàâåíñòâî (1.171) íàçûâàåòñÿ ðàçëîæåíèåì Õàíà (ïîäðàçóìåâàåòñÿ, êî-
íå÷íî, ÷òî ýòî òî ðàçëîæåíèå, êîòîðîå ñäåëàë Õàí).
   Ðàçëîæåíèå Õàíà åäèíñòâåííî â ñëåäóþùåì ñìûñëå: åñëè Ef± äðóãèå
                                                          µ
ìíîæåñòâà, óäîâëåòâîðÿþùèå òåîðåìå 1.2.9, òî
                                   \
                  ∀(A ∈ A , A ⊂ E + E f− ) : µ(A) = 0.


                                   79

Страницы