Лекции по функциональному анализу для начинающих специалистов по математической физике. Арсеньев А.А. - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

β = µ(E
−
µ
).
E
+
µ
:= X \ E
−
µ
∀(A ⊂ E
+
µ
, A ∈ A) : µ(A) ≥ 0.
E
0
⊂ E
+
µ
µ(E
0
) < 0.
E
0
µ(E
−
µ
[
E
0
) = µ(E
−
µ
) + µ(E
0
) < β,
β.
A ⊂ E
0
, µ(A) > 0.
1
= sup{µ(A) | A ⊂ E
0
}.
1
> 0,
A
1
⊂ E
0
, µ(A
1
) >
1
2
1
.
E
1
= E
0
\ A
1
.
µ(E
0
) = µ(E
1
) + µ(A
1
)
µ(E
1
) < 0.
E
1
2
:= sup{µ(A) | A ⊂ E
1
} > 0,
A
2
⊂ E
1
,
Îïðåäåëåííîå ðàâåíñòâîì (1.167) ìíîæåñòâî îòðèöàòåëüíî è óäîâëåòâî-
ðÿåò ðàâåíñòâó
                            β = µ(Eµ− ).
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû íàì äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî

                            Eµ+ := X \ Eµ−                    (1.168)

îáëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì:

                    ∀(A ⊂ Eµ+ , A ∈ A) : µ(A) ≥ 0.            (1.169)

Ìû äîêàæåì, ÷òî îòðèöàíèå ýòîãî óòâåðæäåíèÿ âåäåò ê ïðîòèâîðå÷èþ.
   Ïóñòü ñóùåñòâóåò òàêîå ìíîæåñòâî E0 ⊂ Eµ+ , ÷òî µ(E0 ) < 0. Ìíîæå-
ñòâî E0 íå ìîæåò áûòü îòðèöàòåëüíûì, òàê êàê òîãäà
                       [
                  µ(Eµ− E0 ) = µ(Eµ− ) + µ(E0 ) < β,

÷òî ïðîòèâîðå÷èò âûáîðó ÷èñëà β. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóþò òàêèå
ìíîæåñòâà A ⊂ E0 , ÷òî µ(A) > 0. Ïóñòü

                      1 = sup{µ(A) | A ⊂ E0 }.

Ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
                                 1 > 0,
è ñóùåñòâóåò òàêîå ìíîæåñòâî
                                            1
                      A1 ⊂ E0 , ÷òî µ(A1 ) > 1 .
                                            2
Ïîëîæèì
                            E1 = E0 \ A1 .
Èç ðàâåíñòâà
                        µ(E0 ) = µ(E1 ) + µ(A1 )
ñëåäóåò, ÷òî
                               µ(E1 ) < 0.
Ðàññóæäàÿ êàê è âûøå, ìû ïîëó÷èì, ÷òî ìíîæåñòâî E1 íå ìîæåò áûòü
îòðèöàòåëüíûì, ïîýòîìó

                    2 := sup{µ(A) | A ⊂ E1 } > 0,

è ñóùåñòâóåò òàêîå ìíîæåñòâî

                               A2 ⊂ E1 ,

                                   78

Страницы